Deje $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ con a, b, c real.
Mostrar que
$$\frac{1}4 \le \max_{-1 \le x \le 1\hspace{2mm}} |f(x)|=M$$
y encontrar todos los casos donde la igualdad se produce.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Anthony Shaw
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Tenga en cuenta que $$ \max_{[-1,1]}\,\left|\,x^3-\tfrac34x\,\right|=\tfrac14\etiqueta{1} $$ Teniendo en cuenta la simetría alrededor de $0$ del dominio, tenemos por cualquier $t\in[0,1]$ $$ \max_{\{t,-t\}}\,\left|\,x^3+ax^2+bx+c\,\right|=\left|\,t^3+bt\,\right|+\left|\,at^2+c\,\right|\tag{2} $$ El uso de $(2)$, es obvio que $$ M_b=\max_{[-1,1]}\,\left|\,x^3+bx\,\right|\le\max_{[-1,1]}\,\left|\,x^3+ax^2+bx+c\,\right|\etiqueta{3} $$ Es sencillo calcular $$ M_b=\left\{\begin{array}{} 2(-b/3)^{3/2}&\text{if }b\in\left[-3,-\tfrac34\right]\\ |\,1+b\,|&\text{otherwise} \end{array}\right.\la etiqueta{4} $$ y $M_b$ alcanza un mínimo de$\frac14$$b=-\frac34$. Para cualquier otro valor de $b$, $(3)$ dice que $$ \max_{[-1,1]}\,\left|\,x^3+ax^2+bx+c\,\right|\ge M_b>\tfrac14\etiqueta{5} $$ Establecimiento $b=-\frac34$ $t=\frac12$ $(2)$ rendimientos $$ \max_{[-1,1]}\,\left|\,x^3+ax^2-\tfrac34x+c\,\right|\ge\tfrac14+\left|\,\tfrac14a+c\,\right|\etiqueta{6} $$ y esto puede ser $\frac14$ si $c=-\frac a4$.
En $|x|=\frac12$, $$ \left|\,x^3+ax^2-\tfrac34x-\tfrac a4\,\right|=\tfrac14\etiqueta{7} $$ Sin embargo, en $x=\pm\frac12$, la derivada de $x^3+ax^2-\frac34x-\frac a4$$\pm a$. Por lo tanto, el máximo de $\left|\,x^3+ax^2-\tfrac34x-\tfrac a4\,\right|$ será mayor que $\frac14$ si $a=0$.
Por lo tanto, $$ \max_{[-1,1]}\,\left|\,x^3+ax^2+bx+c\,\right|\ge\tfrac14\etiqueta{8} $$ donde la igualdad se sostiene sólo por $x^3-\frac34x$.
