Encontrar las intersecciones entre el $y = e^x$ $y = x + 2$ algebraicamente?

Question

En tratando de encontrar las intersecciones entre el $y = e^x$ $y = x + 2$ en términos de $x$, se me ocurrió la ecuación,

$e^x = x + 2$

y, posteriormente,

$x = ln(x+2)$.

Más allá de ese punto, estoy perplejo. Soy capaz de resolver la ecuación numéricamente utilizando una calculadora, el método de Newton, etc., pero la necesidad de resolver de manera algebraica. He hecho una buena cantidad de investigación sobre la forma de resolver este tipo de problema, pero han sido incapaces de encontrar cualquier problema lo suficientemente similares como para ser de ayuda.

Gracias a la StackExchange de la comunidad por su ayuda. Me encantan tus sitios y han sido felices para encontrar respuestas a cientos de mis propias preguntas sobre ellos.

Answer 1

Aquí aparece de nuevo la hermosa Lambert función : la reescritura de $$e^x=x+2\implies e^{x+2}=e^2(x+2)\implies e^y=e^2 y$$ and the solutions are given by $$x_1=-W\left(-\frac{1}{e^2}\right)-2$$ $$x_2=-W_{-1}\left(-\frac{1}{e^2}\right)-2$$ In fact, keep in mind that any equation which can write $Un+Bx+C\log(D+Ex)=0$ tiene soluciones en términos de la función de Lambert.

La página de la Wikipedia da serie de aproximaciones.

No hay otra forma cerrada para esta ecuación. Si no puede usarlo, simplemente métodos numéricos va a dar las soluciones.