Problema con la Diferenciación bajo el Signo Integral

Question

Problema: Evaluar:

$$\displaystyle\int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{x} \left(\tan^{-1}(\pi x) - \tan^{-1}x\right)dx.$$

Mi incorrecta intento: $$\displaystyle\int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{x} \left(\tan^{-1}(\pi x) - \tan^{-1}x\right)dx.$$ $$=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \dfrac{tan^-1 (\pi x)}{x} dx -\int_0^\infty \dfrac{\tan^{-1}x}{x}dx.$$ Considere la posibilidad de $$J(b) = \int_0^\infty \dfrac{\tan^-1(bx)}{x} dx$$ La diferenciación $J(b)$ w.r.t (b) $$J'(b)=\int_0^\infty \dfrac{dx}{1+(bx)^2}=\dfrac{\pi}{2b}$$ $$\Longrightarrow J(b) = \dfrac{\pi}{2}\ln b + C$$ Ahora ¿cómo podemos proceder para encontrar C? $J(0) = 0$, pero $\ln(0)$ no está definido. $$$$ También, podría alguien por favor decirme cómo podemos comprobar la existencia de derivadas Parciales? $$$$Estaría muy agradecido si alguien pudiera ayudarme por favor. Muchas gracias de antemano!

Answer 1

$$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan(\pi x)-\arctan x}{x}\,dx &=& \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x}\int_{1}^{\pi}\frac{x}{1+a^2 x^2}\,da\,dx\\&=&\int_{1}^{\pi}\frac{\pi}{2a}\,da\\&=&\color{red}{\frac{\pi}{2}\log\pi}.\end{eqnarray*}$$

Answer 2

Lo que has hecho es correcto hasta $J'(b)=\frac{\pi}{2b}$ Lo que necesita saber es $J(\pi)-J(1)$ Por lo tanto,integrar $\frac{\pi}{2b}$ sobre b de 1 a $\pi$

Answer 3

Recordar Frullani Integral de

$$\int_0^{\infty}\frac{f(\alpha t)-f(\beta t)}{t}dt=\left(f(0)-f(\infty)\right)\log(\beta/\alpha) \tag 1$$

donde $f$ es continua, la integral converge, y $f(\infty)=\lim_{t\to \infty}f(t)$.

Para la integral de interés que hemos $f=\arctan t$, $\alpha =\pi$, y $\beta =1$. Por lo tanto, disponer inmediatamente de $(1)$

$$\int_0^{\infty}\frac{\arctan(\pi t)-\arctan( t)}{t}dt=\frac{\pi}{2}\log \pi$$

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NOTA:

Para responder a la pregunta al final del post original, no debemos evaluar $J$ desde que la integral diverge. Esto es así desde el arco tangente de la función es limitada, puesto que los enfoques $\pi /2$$x \to \infty$, mientras que la integral de $1/x$ diverge.

Podríamos formar, sin embargo, una nueva función de $K(a)=\int_0^{\infty}\frac{\arctan(ax)-\arctan(x)}{x}dx$. Diferenciando con respecto a $a$ da el resultado que

$$K'(a)=\int_0^{\infty}\frac{1}{1+a^2x^2}dx=\frac{\pi}{2a} \tag2$$

La integración de $(2)$ rendimientos $K(a)=\frac{\pi}{2}\log a +C$.

Ahora, podemos ver que $K(1)=0 \implies C=0$, por lo que tenemos

$$K(\pi)=\frac{\pi}{2}\log \pi$$

como se esperaba!