La recurrencia de la $a_n = \sum_{k=1}^{n-1}a^2_{k}, a_1=1$

Question

Esto parece muy sencillo de recurrencia.

Yo escribí el primer par de términos: $1,1,2,6,42,1806$... parece crecer más rápido de lo $n!$ pero inferior al de $n^n$. Cualquier sugerencia acerca de la forma cerrada o la tasa de crecimiento son muy bienvenidos.

Answer 1

$$ a_{n+1} = a_n (1+a_n) $$ ..................

Así que, con o sin forma cerrada, hay algunos reales positivos $\theta$ tal que $$ a_n \approx \theta^{\left( 2^n \right)} $$

y $\theta $ puede ser aproximada por $a_n^{1/2^n},$ mientras $\log \theta$ puede ser aproximada por $\frac{\log a_n}{2^n}. $

EEddIItt: la Convergencia de $\theta$ debe ser rápida. Tengo que $\frac{\log a_n}{2^n} $ aumenta con la $n,$ sin embargo $$ \frac{\log a_{n+1}}{2^{n+1}} - \frac{\log a_n}{2^n} < \frac{\log \left(1 + \frac{1}{2 a_n} \right)}{2^n} $$

Conté mi versión con $$ a_1 = 6, \; a_2 = 42, \; a_3 = 1806. $$ Con esta numeración llego $\theta \approx 2.553317.$, de todos Modos, basta con mirar los logaritmos, este crece mucho más rápido que $n^n$