Supongamos una secuencia de medidas de probabilidad $\mu_n \Rightarrow \mu$ converge débilmente a un límite, y supongamos además que $$\lim_{n \rightarrow \infty} \int x^k \mu_n (dx) = m_k \in \mathbb{R}$$ para alguna secuencia de números $\{m_k\}_{k=1}^{\infty}$ . ¿Es cierto que $$\int x^k \mu (dx) = m_k?$$ Creo que sí, pero no puedo probarlo, ya que las funciones $x^k$ son ilimitadas. Si alguien puede ofrecer alguna idea, se lo agradecería mucho.
Respuesta
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Esta es una forma de mostrarlo, aunque puede ser posible hacerlo con menos maquinaria.
Por el teorema de representación de Skorohod, podemos suponer que el $\mu_n$ son las leyes de una secuencia de variables aleatorias $\{X_n\}$ en algún espacio de probabilidad, y el $X_n$ convergen casi con seguridad a algún $X$ cuya ley es $\mu$ . Ahora tenemos que demostrar que si $E[X_n^k] \to m_k$ para todos $k$ entonces $E[X^k] = m_k$ .
Hagamos $k=1$ primero. Como $E[X_n^2] \to m_2$ En particular, tenemos que $\{X_n\}$ está acotado en $L^2$ . Existe un hecho, a veces llamado "condición de la bola de cristal", según el cual si una secuencia de variables aleatorias está acotada en $L^p$ para algunos $p > 1$ entonces es uniformemente integrable. Así que tenemos que $\{X_n\}$ es uniformemente integrable y converge a $X$ casi con seguridad. Por el teorema de convergencia de Vitali, tenemos $X_n \to X$ en $L^1$ es decir $E X_n \to EX$ . Esto muestra $EX = m_1$ .
En general $k$ , elija cualquier número entero par $r > k$ , y establecer $p=r/k > 1$ . Entonces tenemos que $E [|X_n^k|^p] = E[X_n^r]$ está acotado, por lo que $\{X_n^k\}$ está acotado en $L^p$ . Desde $X_n^k \to X^k$ casi seguro, como antes hemos $E[X_n^k] \to E[X^k]$ Es decir $E[X^k] = m_k$ .
