Prueba de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Question

Estaba leyendo sobre la desigualdad de Cauchy-Schwarz en Courant, Hilbert - Methods Of Mathematical Physics Vol 1 y no puedo entender a qué se refieren cuando dicen la línea que ha sido resaltada con rojo en la imagen dada a continuación

No puedo entender por qué a y b tienen que ser proporcionales y por qué es esto tan crucial para que las raíces sean imaginarias y por qué queremos que las raíces sean imaginarias en primer lugar.

Answer 1

Una pista: La ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$ tiene raíces reales si y sólo si $b^2-4ac\ge 0$ .

Añadido: El polinomio cuadrático $\sum_1^n (a_ix+b_i)^2$ es una suma de cuadrados. Por lo tanto, este polinomio es siempre $\ge 0$ .

Recordemos que un cuadrático $ax^2+bx+c$ , donde $a\gt 0$ siempre es $\ge 0$ si y sólo si el discriminante $b^2-4ac$ es $\le 0$ . Calcula el discriminante de la cuadrática desordenada. La desigualdad $b^2-4ac\le 0$ resulta ser precisamente la desigualdad C-S (bueno, hay que dividir por $4$ ).

En cuanto a cuando tenemos la igualdad, la cuadrática tiene una raíz real $k$ si y sólo si $a_ik+b_i=0$ para todos $i$ . Este es el caso si $b_i=-ka_i$ , lo que significa que el $a_i$ y $b_i$ son proporcionales.

Por cierto, creo que las cosas son marginalmente más bonitas si miramos el polinomio $\sum_1^n (a_ix-b_i)^2$ .

Answer 2

La expresión $\displaystyle\sum_{i=1}^n (a_i x + b_i)^2$ no puede ser negativo ya que es una suma de cuadrados de números reales, y no puede ser cero a menos que cada término sea cero, en cuyo caso, ya que $a_i x=b_i$ los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son proporcionales, y $x$ es la constante de proporcionalidad.

Por lo tanto, la ecuación cuadrática puede tener una solución real para $x$ sólo si los dos vectores son proporcionales, en cuyo caso sólo tiene una solución. Si una ecuación cuadrática con coeficientes reales no tiene soluciones reales o sólo tiene una, entonces su discriminante es no positivo. En este caso el discriminante es $$\left(2\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 - 4\left(\sum_{i=1}^n a_i \right)\left(\sum_{i=1}^n b_i\right).$$ Por lo tanto, esa expresión debe ser $\le0$ y $=0$ sólo si los dos vectores son proporcionales. De ahí se deduce la desigualdad de Cauchy-Scharz.

Answer 3

Tenemos la ecuación $$\sum_{i=1}^n(a_ix+b_i)^2 =x^2\sum_{i=1}^na_i^2+2x\sum_{i=1}^na_ib_i+\sum_{i=1}^nb_i^2\tag{1}$$ Si hubiera dos raíces reales distintas del lado derecho de $(1)$ entonces el mínimo de la cuadrática estaría en su media y sería menor que $0$ porque el coeficiente positivo de $x^2$ produce una convexidad estricta. Sin embargo, si hubiera una $x$ para que el lado derecho fuera menor que $0$ la parte izquierda daría una suma de cuadrados negativa.

$\Rightarrow$ las raíces no pueden ser reales y distintas

La única posibilidad de una raíz real sería en el caso de que el lado izquierdo de $(1)$ fueron $0$ . para que eso ocurra, cada término de la suma tendría que ser $0$ . Es decir, para todos los $0\le i\le n$ , $$b_i=-a_ix\tag{2}$$ $\Rightarrow$ $a$ y $b$ debe ser proporcional.

Si las raíces del lado derecho de $(1)$ son iguales o no reales, tenemos, a partir de la fórmula cuadrática, que $$\left(2\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2-\ 4\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^nb_i^2\right)\le0\tag{3}$$ que al reordenarse es Cauchy-Schwarz.

$\Rightarrow$ queremos las raíces del lado derecho de $(1)$ para ser igual o no real.