¿cuál es tan grande sobre tener un invariante de la medida?

Question

Soy un estudiante que acaba de empezar a aprender los conceptos básicos de ergodic theory.

Parece que, dado un sistema dinámico, la gente está muy emocionada de encontrar diversas medidas invariantes del sistema. Pero los libros que estoy leyendo, realmente no me convence por qué es bueno tener invariante medidas.

Por ejemplo, el mapa de Gauss en la unidad de intervalo de $x \mapsto \{ 1/x \}$ tiene el invariante de medida $ 1/({1+x})$. Qué tipo de resultados efectivos podemos probar sobre el mapa de Gauss el uso de esta medida invariante?

Answer 1

Un caso importante es cuando se tiene una probabilidad de medida, en cuyo caso si el mapa tiene un invariante de la medida, entonces se conserva la probabilidad. Esta es la configuración adecuada para la Birkhoff ergodic teorema, que es de suponer que usted aprenderá pronto.