La pendiente de una línea vertical

Question

Encontrar la ecuación de la recta que satisface las condiciones dadas:

A través de $(-1,2)$; en paralelo a la línea de $x=5$

Sé que la ecuación de esta línea es $x=-1$ porque $x=5$ es una línea vertical y cualquier recta paralela a ella sería la vertical, así. Así que se ejecuta la línea vertical a lo largo de $x=-1$.

Pero, ¿cómo voy a resolver esto de manera algebraica?

Answer 1

El razonamiento que dio en su pregunta es algebraicas: veo nada de malo. Usted no puede utilizar el estándar de "líneas paralelas tienen igualdad de pendientes" desde sus líneas se han definido las laderas.

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Sin embargo, aquí es otro enfoque. Todas las líneas se pueden colocar en general lineal de la forma:

$$Ax+By=E$$

Primero buscar $A$, $B$, y $E$ (no exclusivo) para su línea de salida,$x=5$. Usted quiere encontrar otra línea,

$$Cx+Dy=F$$

que es paralela a la línea, lo que ocurre cuando

$$AD-BC=0$$

Encontrar $C$ $D$ que cumplir con ese requisito, y encontrar$F$, de modo que el punto de $(-1,2)$ está en la línea. Entonces usted está listo!

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Si desea otro, enfoque ligeramente diferente, puede utilizar el formulario

$$x \cdot \cos \theta + y \cdot \sin \theta = r$$

donde $\theta$ es el ángulo de dirección de un vector perpendicular a la línea y $r$ es la distancia del origen de la línea. Dos líneas son paralelas si sus $\theta$'s son iguales o difieren en un múltiplo de $\pi$. En su problema particular, $\theta$ es cero.

Answer 2

Considerar la línea de$$x=5$$ $$0=x-5$$ $$0y=x-5$$ $$y=\frac{x}{0}-\frac{5}{0}$$ $$y=\infty x-5\infty$$ Ahora se intenta determinar la pendiente de una recta perpendicular a esta línea. $$m_\perp = -\frac{1}{m}=-\frac{1}{\infty}=0$$ A continuación, tratar de encontrar una línea que pasa a través de $(-1,2)$ con una pendiente de $m_\perp=0$ $$m_\perp=0=\frac{y-2}{x+1}$$ $$0(x+1)=y-2$$ $$y-2=0$$ $$y=2$$ $$y=0x+2$$ Ahora considere una recta que pasa por (-1,2) de la forma $$y=ax+b$$ donde $a$ es distinto de cero. La pendiente de una recta que es perpendicular a esta línea tiene una pendiente de $-1/a\ne 0$, por lo tanto, esta línea no puede ser perpendicular a $y=0x+2$. Si $a=0$, luego el 2 líneas coinciden (y una línea que es paralela a sí misma, y por lo tanto no es perpendicular a sí mismo). Así que podemos concluir que la línea no es de esta forma $y=ax+b$.

La única otra forma de línea se modela con la ecuación $$x=b$$ sustituyendo tenemos $$-1 = b$$ y así, la línea es $$x=-1$$