Prueba por contraposición que no tiene sentido.

Question

No entiendo por qué contraposición funciona de forma intuitiva. Tomar esta frase por ejemplo:

$\text{If I pass my exams then I am a good student.}$

$\text{I pass my exams }\implies\text{ I am a good student.}$

Si sé que me pasa a mi exámenes, sé que soy un buen estudiante , pero si no aprobé mis exámenes, realmente no sé si soy una buena estudiante o no (ya que esta es la implicación y no una si-y-sólo-si la declaración ) y $F\implies T,F\implies F$ son ambas verdaderas, por lo tanto los resultados es posible.

Dicho esto, no entiendo por qué la prueba por contraposición obras. Prueba por contraposición diría:

$\text{I didn't pass my exams }\implies\text{ I am not a good student.}$

Pero no entiendo ¿por qué? Al no haber pasado los exámenes no dice nada acerca de si soy una buena estudiante o no, y en contraposición, parece obvio para mí cuando :

$\text{I pass my exams }\iff\text{ I am a good student.}$

Entonces sí, el contrapositivo hace intuitivo sentido para mí. Pero, ¿por qué es de implicación?

Answer 1

El contrapositivo de $A \implies B$$\sim B \implies \sim A$.

Esto no tiene nada que ver con $B \implies A$ o $\sim A \implies \sim B$, que es el opuesto de la declaración de $A \implies B$.

En su caso, el contrapositivo de la declaración de

Si yo pase mis exámenes, soy un buen estudiante.

es

Si yo no soy un buen estudiante, a continuación, no voy a pasar mi examen.

La declaración de que usted haya escrito, es decir,

No aprobé mis exámenes $\implies$ yo no soy un buen estudiante.

no es el contrapositivo. De hecho, es el recíproco de su declaración inicial.

Answer 2

Nota los siguientes:

• $P\to Q\qquad$ [Principal statemet]
• $Q\to P\qquad$ [Conversar]
• $\neg P\to\neg Q\qquad$ [Inversa]
• $\neg Q\to\neg P\qquad$ [Contrapositivo]

Estos son los distintos términos para las diferentes formas anteriores. A menudo, se requiere (como un rudimentario ejercicio) para mostrar que la principal afirmación es lógicamente equivalente a la contrapositivo; es decir, $P\to Q\equiv \neg Q\to\neg P$. Por lo tanto, a menudo, si parece ser muy difícil probar que $P\to Q$, entonces se puede recurrir a demostrar el contrapositivo, es decir,$\neg Q\to\neg P$, lo que demuestra la $P\to Q$.

Cuando se trata de lidiar con un problema lingüístico, como en tu caso, creo que es a menudo una buena idea para expresar su condicional con proposiciones:

• $P:$ I pasar mis exámenes.
• $Q:$ Soy un buen estudiante.

Como usted ha dicho, usted tiene una reclamación de la forma $P\to Q$. Por lo tanto, una reclamación equivalente a$P\to Q$$\neg Q\to\neg P$, el contrapositivo: "Si yo no soy un buen estudiante, entonces no voy a pasar mis exámenes." Lo que han hecho es expresado a la inversa, que es $\neg P\to\neg Q$: "Si yo no pase mis exámenes, entonces yo no soy un buen estudiante". Esto no es válido porque, en general, $P\to Q\not\equiv\neg P\to\neg Q$. Me animo a usar las tablas de verdad para ver por qué. Lo que se busca es el contrapositivo, y que en realidad es equivalente a la instrucción original.