Actualmente estoy estudiando lógica en mi universidad y he estado tratando de exprimir la teoría de conjuntos en el lado como sea posible. Teniendo en cuenta que estoy dedicando bastante tiempo a estudiar la teoría de conjuntos independientemente de mi curso de lógica, he empezado a preguntarme si sería mejor dedicar mi tiempo extra sólo a la lógica. ¿Debo esperar encontrar la teoría de conjuntos necesaria para la lógica en los textos de lógica que utilizaré a medida que avance o es necesario estudiar la teoría de conjuntos además de la lógica para desarrollar una comprensión firme de la lógica?
Respuestas
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¡Hay lógica y lógica! ¿Y cuándo empieza a contar como "serio"?
Para un primer curso de lógica matemática sobre la lógica de primer orden (y estoy incluyendo aquí cosas como la prueba de completitud para los lenguajes "ordinarios", es decir, contables) no se necesita una teoría de conjuntos seria.
Por supuesto, es totalmente normal utilizar la notación teórica de conjuntos y decir, por ejemplo, que un modelo tiene un dominio que es un set dotado de funciones y relaciones donde éstas también se identifican con conjuntos de tuplas del dominio. Pero, en realidad, esta charla sobre la teoría de conjuntos hace poco trabajo real al principio (e incluso puede ser positivamente engañosa). Por ejemplo, en lugar de decir que --en un determinado caso-- el dominio de la cuantificación es el conjunto (singular) de los números, podemos decir simplemente que los cuantificadores discurren sobre los números (plural), y así sucesivamente.
Pero una vez que te adentras, por ejemplo, en los elementos de la teoría de modelos (compacidad, teoremas L-S ascendente y descendente y sus aplicaciones, y un poco más), entonces necesitarás saber algo sobre ordinales y cardinales y algo sobre el axioma de elección: así que aquí es donde empezarás a necesitar saber un poco de teoría de conjuntos.
Pero, ¿cuánto? No mucho al principio. Echa un vistazo a la guía Teach Yourself Logic Guide que puedes descargar en http:// logicmatters.net/tyl. Sólo uno de los libros elementales que se mencionan al principio de la sección sobre Teoría de Conjuntos para principiantes te dará más que suficiente para entrar en las otras partes de un primer curso de lógica matemática [Por supuesto, como dice Asaf en sus comentarios, a medida que te adentras en la teoría de modelos seria, te ves cada vez más envuelto en la teoría de conjuntos seria].
YonedaLemma
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Se podría decir que la teoría de conjuntos es la lógica - u tiene axiomas ontológicos (como existencia , emparejamiento etc.) que garantizan la existencia de determinados objetos y comprensión identificando esencialmente fórmulas y establece . Entonces, ¿cuál es la diferencia entre $$\{x|S(x)\}\text{ and }S(x)$$
o $\{x\in A|S(x)\}$ y $A(x) \land S(x)$ ?
Lo que ocurre con la teoría de conjuntos es lo siguiente: que lo que axiomatiza - la idea de algo " pertenece a " o " forma parte de " algo - y cómo lo axiomatiza parece ser muy familiar y de alguna manera natural para nuestra intuición. Esto parece sugerir que la teoría de conjuntos es la base adecuada para todas las matemáticas .
Pero a pesar de ese sentimiento natural con la teoría de conjuntos, esa afirmación parece carecer de toda justificación. De hecho, cada vez hay más gente que piensa que dar por sentada la teoría de conjuntos como base para ciertas teorías (como la física cuántica o la gravedad cuántica) podría no ser apropiado ni estar justificado, e implicarla de todos modos podría ser la razón de algunas dificultades graves a las que nos enfrentamos con estas teorías.
Esta es una de las motivaciones para interesarse también por conceptos más generales como la teoría de los topos o los tipos $\lambda$ -cálculo-, curiosamente también físicos teóricos (por ejemplo, C. Isham).
..para más vistas más allá teoría de conjuntos y lógica (= conferencias introductorias sobre lenguajes y sistemas formales, gramáticas, (in-)completitud + corrección, compacidad, Herbrand, Löwenheim-Skolem, computabilidad, teoría de modelos, etc. ) en lógica u podría f.i. ver
Barnes + Mack: Una introducción algebraica a la lógica matemática
C. Isham: "¿Qué es una cosa?": La teoría del topos en los fundamentos de la física
