En este MO hilo, el OP dijo que es obvio que homotopy equivalencia implica la asignación de cono contráctiles, mientras que el recíproco de la proposición que está mal. Odio admitirlo, que no es obvio para mí en absoluto.
Ahora estoy poniendo este problema en una forma más conceptual o abstracto, configuración, aunque no he aprendido nada en el modelo de la categoría o homotopical álgebra. Supongamos $f\colon X\to Y$ es un mapa continuo de (punta) los espacios topológicos, y $Cf$ es la correspondiente asignación de cono. Luego hay una larga coexact secuencia (Puppe secuencia): $$X\to Y\to Cf\to\Sigma X\to\Sigma Y\to\Sigma Cf\to\dotsb$$ donde $\Sigma Z$ es la reducción de la suspensión de $Z$. En otras palabras, para cualquier espacio topológico $Z$, tenemos una larga secuencia exacta de punta establece: $$\dotsb\to[\Sigma Cf,Z]\to[\Sigma Y,Z]\to[\Sigma X,Z]\to[Cf,Z]\to[Y,Z]\to[X,Z]$$ Además, si $f$ es un homotopy equivalencia, a fortiori $[\Sigma Y,Z]\to[\Sigma X,Z]$ $[Y,Z]\to[X,Z]$ son isomorphisms, por lo tanto $[Cf,Z]=0$ todos los $Z$. Tome $Z=Cf$, $Cf$ es contráctiles (no estoy seguro de si mi argumento es correcto). Por otro lado, si $Cf$ es contráctiles, por lo que es $\Sigma^{n-1}Cf$, por lo $(\Sigma^n f)^*\colon[\Sigma^n Y,Z]\to[\Sigma^n X,Z]$ es un isomorfismo entre los grupos para la $n\ge1$, por lo $\Sigma^n Y$ $\Sigma^n X$ son homotopically equivalente.
En contraste con el nivel de espacio de versión, la propuesta de los complejos de la cadena es el adecuado. El anterior argumento funciona cuando reemplazamos $f$ por un cofibration, y el largo exacto de la secuencia termina con un plazo adicional $0$, por lo $X,Y$ son homotopically equivalente.
No sé si la versión topológica es correcto si nos restringimos a la categoría de algunos buenos espacios, y todavía no está claro cuál es la verdadera obstrucción en la topológico caso.
Alguna ayuda? Gracias!
