Que $L:=[k_1,\dots,k_n]$ ser una lista de números naturales (es decir, $\{1,2,\dots \} $), se permiten repeticiones. ¿Cómo probar que la suma de los módulos de los coeficientes del polinomio $$ \prod_{j=1}^{j=n}\left(1-x^{k_j}\right)$% $ de 2n $ is greater than or equal to $?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Luca Bressan
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Como señala Daniel Fischer en los comentarios, la cota de $2n$ es fuerte, así que mi anterior intento de resolver el problema de la factorización del polinomio y teniendo en cuenta la suma absoluta de $(x-1)^n$ no parece ir en la dirección correcta. Desde entonces he tratado de mirar el problema de una manera diferente, así que me voy a informar aquí mis observaciones (no sé si debería escribir esto en una respuesta diferente; voy a seguir, el primero en la final de este).
Me di cuenta de que el polinomio $f(x) = \prod_{j=1}^n (1-x^{k_j})$ puede ser ampliado en la siguiente forma. Deje $L$ el conjunto de los índices de $k_j$, contó con repeticiones, como en $$L = \{ (j, k_j) \mid j = 1, \dotsc, n \}.$$ Para cada una de las $i$ deje $C_i = \{ S \subseteq L \mid \lvert S \rvert = i \}$, y para cada una de las $c \in C_i$ denotar por $t(c)$ la suma de los índices de $k_j$$c$. A continuación, $$ f(x) = \sum_{i=0}^n (-1)^i \sum_{c \in C_i} x^{t(c)}. $$ Por ejemplo, para $n = 3$, tenemos que $$ (1-x^a)(1-x^b)(1-x^c) = 1-(x^a+x^b+x^c)+(x^{a+b}+x^{a+c}+x^{b+c})-x^{a+b+c}. $$ En este caso es relativamente fácil demostrar que el valor absoluto es mayor que o igual a $6$, por un razonamiento sobre cómo podemos cancelar algunos de los términos (por ejemplo, incluso si $a = b+c$, no podemos menos de seis términos, de lo contrario nos encontramos con una contradicción). No obstante, el caso general, parece difícil de tratar.
Intento anterior
En primer lugar recordar que, para todos los $m > 0$, $$ 1-x^m = (1-x)(1+x+\dotsb+x^{m-1}).$$ A continuación, puedes factor de su polinomio $f(x)$ $$ f(x) = \prod_{j=1}^n (1-x^{k_j}) = \prod_{j=1}^n [(1-x)(1+x+\dotsb+x^{k_j-1})] = (1-x)^n g(x)$$ para algunos polinomio $g(x)$ cuyos coeficientes son todos positivos. Ahora, ya $$ (1-x)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} (-x)^i,$$ la suma de los valores absolutos de los coeficientes de $(1-x)^n$ es $$ \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} = 2^n .$$ A partir de esto, usted debe conseguir que la suma de los valores absolutos de los coeficientes de $f(x)$ al menos $2^n$.
Si usted no está convencido, aviso que si $p(x) = a_0 + a_1 x + \dotsb + a_m x^m$$q(x) = b_0 + b_1 x + \dotsb + b_n x^n$, $a_i,\, b_j$ enteros, entonces $$ p(x) q(x) = \sum_{d=0}^{m+n} \left ( \sum a_i b_j \right) x^d$$ donde la segunda suma pistas de todos los $(i, j)$ tal que $i \le m$, $j \le n$, $i+j = d$. De esta manera es fácil ver que el valor que desea calcular nunca disminuye cuando se multiplica un polinomio con coeficientes positivos.
Edit: Esto no puede ser tan trivial como yo pensaba, mi último argumento fue demasiado apresurado y ahora me parece que incluso podría ser falsa. Os dejo la respuesta como una posible dirección a seguir hasta que pueda solucionarlo.
