El producto tensorial del grupo abeliano consigo mismo es cero.

Question

Deje que$A$ sea un grupo abeliano. Asumir que $A\otimes A=0$. ¿Implica que$A=0$?
Sé que la respuesta es sí si agregamos la suposición de que$A $ no tiene torsión.
.

Una pregunta más, relacionada con lo anterior, es si$Tor (A,A)=0$ implica que$A $ no tiene torsión.

Sé que$A $ está libre de torsión si y solo si$Tor (A,B)=0$ para todos los grupos abelianos$B $. Sin embargo, la prueba utiliza diferentes grupos$B $ y no$B=A $.

Answer 1

Qué pasa $A=\Bbb Q/\Bbb Z$? $A$ es torsión y divisible, así que$(1/m)\otimes (1/n)=n(1/nm)\otimes 1/n=(1/nm)\otimes (n/n)=0$.

AÑADIDO EN EDITAR

En la categoría de grupos abelianos, Tor es exacto a la izquierda en ambos argumentos, por lo que si$B$ es un subgrupo de$A$, entonces$\text{Tor}(B,B)$ es un subgrupo de$\text{Tor}(A,A)$. Si$A$ tiene torsión no trivial, entonces$A$ tiene un subgrupo isomorfo a$C_n$, un grupo cíclico de orden finito$n\ge 2$. Por lo tanto,$\text{Tor}(A,A)$ tiene un subgrupo isomorfo a $ \ text {Tor} (C_n, C_n) \ cong C_n $, y por lo tanto es distinto de cero.

Answer 2

Otro ejemplo es mirar$\mathbb Z/n\mathbb Z\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb Z/m\mathbb Z \cong \mathbb Z/(m,n)\mathbb Z$. Claramente, tanto$\mathbb Z/n\mathbb Z$ como$\mathbb Z/m\mathbb Z$ son torsión no trivial$\mathbb Z$ - módulos, sin embargo, cada vez que$m$ y$n$ son primos, su producto tensorial es$0$ .