Describa el conjunto de números primos impares de modo que$\left(\frac{-5}{p}\right) = 1$ (símbolo de Legendre)

Question

Bueno, por lo $\left(\frac{-5}{p}\right) = 1$. Estoy asumiendo que puedo comenzar esta diciendo $\left(\frac{-5}{p}\right) = \left(\frac{5}{p}\right) \times \left(\frac{-1}{p}\right)$.

Hay reglas bien definidas para $\left(\frac{-1}{p}\right)$. De tal forma que si quiero $\left(\frac{-1}{p}\right) = 1$, entonces debo tener $p \equiv 1$ mod $4$.

Desde $5$ es congruente a $1$ mod $4$, puedo decir $\left(\frac{5}{p}\right) = \left(\frac{p}{5}\right)$.

Así que ahora debo encontrar a $p$ tal que $\left(\frac{p}{5}\right) = 1$. Por la reciprocidad cuadrática puedo encontrar ese $\left(\frac{p}{5}\right) = 1$ al $p \equiv \{1,4\}$ mod $5$.

Por el CRT llego $p \equiv \{1,9\}$ mod $20$.

También hay que considerar el caso cuando ambos $\left(\frac{-1}{p}\right) = -1$$\left(\frac{p}{5}\right) = -1$.

$\left(\frac{-1}{p}\right) = -1$ al $p \equiv 3$ mod $4$.

$\left(\frac{p}{5}\right) = -1$ al $p \equiv \{2,3\}$ mod $5$.

Así que por el CRT llego $p \equiv \{3,7\}$ mod $20$.

Así que estoy asumiendo que sería seguro decir que $\left(\frac{-5}{p}\right) = 1$ al $p \equiv \{1,3,7,9\}$ mod $20$.

No hay nada de malo con esto? O es que hay un más obvio y más rápida manera de lograr esto?

Answer 1

$\left(\frac{-5}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{5}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{5}{p}\right)\stackrel{\text{QR}}=(-1)^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{p}{5}\right)$

$(-1)^{\frac{p-1}{2}}=\begin{cases}1, &p\equiv 1\pmod{\!4}\\-1, &p\equiv -1\pmod{\!4}\end{cases}$

$0^2\equiv \color{#0bc}{0},\ 1^2\equiv \color{#0bc}{1},\ 2^2\equiv\color{#0bc}{4},\ 3^2\equiv (-2)^2\equiv 2^2,\ 4^2\equiv 1^2\pmod{\!5}.$

$\left(\frac{p}{5}\right)=\begin{cases}1, &p\equiv \{\color{#0bc}{1},\color{#0bc}{4}\}\pmod{\!5}\\-1, &p\equiv \{2,3\}\pmod{\!5}\\ 0, &p\equiv \color{#0bc}{0}\pmod{\!5}\end{cases}$

Tenga en cuenta que lo anterior no usó QR sino que usó la verificación básica, como dijo André en un comentario.

$(-1)^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{p}{5}\right)=\left\{\begin{array}{}1,\ \ \ \ \left\{\left\{\begin{array}{}p\equiv 1\pmod{\!4},\ &p\equiv \{1,4\}\pmod{\!5}\\p\equiv -1\pmod{\!4},\ &p\equiv \{2,3\}\pmod{\!5}\end{array}\right\}\right\}\\-1,\ \left\{\left\{\begin{array}{}p\equiv 1\pmod{\!4},\ &p\equiv \{2,3\}\pmod{\!5}\\p\equiv -1\pmod{\!4},\ &p\equiv \{1,4\}\pmod{\!5}\end{array}\right\}\right\}\\0, \ \ \ \ \ \ \ p\equiv 0\pmod{\!5}\end{array}\right\}$

$\stackrel{\text{CRT}}=\left\{\begin{array}{}1,&p\equiv \{1,3,7,9\}\pmod{\!20}\\-1,&p\equiv \{11,13,17,19\}\pmod{\!20}\\ 0,&p\equiv 0\pmod{\!5}\end{array}\right\}$