La desigualdad de Chebyshev - Pregunta

Question

Tenía una pregunta en mi examen y se pide demostrar que probar que:

$$3(1+a^2+a^4)\geq(1+a+a^2)^2$$ for all $un\in\mathbb R$.

Ahora , he resuelto , pero el problema es que en la respuesta que escribió esto: usando la desigualdad de Chebyshev:

$$(1+a+a^2)^2=(1·1+a·1+a^2·1)^2≤(1+a^2+a^4)·(1+1+1)=3(1+a^2+a^4).$$ Y por lo que he intentado buscar en la web para esta desigualdad, pero todo lo que encontró fue el de la desigualdad de Chebyshev para probabillity. por favor alguien puede enviarme el enlace con respecto a esta desigualdad o simplemente escribir aquí?

Gracias.

Answer 1

Es sólo C-S: $$3(1+a^2+a^4)=(1+1+1)(1+a^2+a^4)\geq(1+a+a^2)^2.$$

El Chebyshov la desigualdad es la siguiente.

Deje $a_1\geq a_2\geq...\geq a_n$ e $b_1\geq b_2\geq...\geq b_n$.

Por lo tanto, $$n\sum_{k=1}^na_kb_{n-k+1}\leq\sum_{k=1}^na_k\sum_{k=1}^nb_k\leq n\sum_{k=1}^na_kb_k.$$ La prueba de esta desigualdad se sigue de inmediato de Reordenación.

También existe la siguiente manera:

$$(1+a^2+a^4)=(1+2a^2+a^4-a^2)=((1+a^2)^2-a^2)=(1-a+a^2)(1+a+a^2).$$ Id est, es suficiente para probar que: $$3(1-a+a^2)\geq1+a+a^2$$o $$(a-1)^2\geq0.$$