Longitud lateral de un tetraedro regular dado el radio de la esfera tangente a sus aristas

Question

Estoy trabajando en un proyecto de física en el que tenemos que construir un contenedor para proteger un adorno de cristal cuando se deja caer desde un lugar alto. Mi diseño consiste en construir un tetraedro con pajitas y poner el adorno de cristal dentro de él. No estoy seguro de la longitud de cada lado del tetraedro de paja. He hecho algunas mediciones y he calculado que el radio de la esfera es de aproximadamente 1,3. El tetraedro no tiene "paredes" en las que el adorno toque en un solo punto. Es simplemente un marco vacío hecho con pajitas normales de McDonald's, y el adorno sobresaldrá un poco de cada lado, por lo que no hay caras, sólo aristas . ¿Cómo puedo encontrar la mejor longitud lateral?

Answer 1

Añadido: en la construcción de abajo, el punto de una arista más cercano al origen está en $(0,0,1),$ radio para esto es exactamente $1,$ por lo tanto, la longitud de la arista dividida por $\sqrt 8$

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una forma de colocar un tetraedro regular es en uno de cada dos vértices del cubo con todos los vértices $(\pm1,\pm1,\pm1).$ Por ejemplo $$ (-1,-1,-1) \; , \; \; \; (-1,1,1) \; , \; \; \; (1,-1,1) \; , \; \; \; (1,1,-1) \; . \; \; \; $$ Los bordes tienen toda la longitud $\sqrt 8$

Un lado del triángulo es $$ x+y+z=1. $$ El punto más cercano al origen en ese plano es $$ \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) $$ con la distancia al origen $$ \frac{\sqrt 3}{3} = \frac{1}{\sqrt 3},$$ que es el radio de la esfera inscrita. Así, el radio es la longitud de la arista dividida por $$ \sqrt{24} $$

Answer 2

Su esfera inscrita está tocando las aristas del tetraedro, no sus caras que no existen en la realidad. El radio de la esfera que toca bordes de teraedro se sabe que es:

$$r=\frac{a}{\sqrt8}\iff a=2r\sqrt2\approx2.82r$$

Demostrar la fórmula es un ejercicio bastante sencillo.

https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron#Formulas_for_a_regular_tetrahedron