Nota: $f^n$ indica la iteración de la composición, por ejemplo, $f^3(x)=(f\circ f\circ f)(x)$
Me he dado cuenta de que determinadas funciones tienen una cierta propiedad donde por algún número $n$ de las iteraciones de la función de ciclo a través de un conjunto de valores de modo que $f^{m+n}(x)=f^m(x)$ para todos los $m\in\mathbb{N}$. Por ejemplo, si $f(x)=1-\frac{1}{x}$: $$f^1(x)=1-\frac{1}{x}$$ $$f^2(x)=1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{1}{1-x}$$ $$f^3(x)=1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}=x$$ $$f^4(x)=1-\frac{1}{x}$$ Por lo que el ciclo tiene un período de $n=3$. Hay un nombre para esta propiedad, y donde puedo encontrar más información? También, hay casos donde el 'periodo' $n$ varía como una función de la iterar $m$?
Editar:
Como otros han señalado en los comentarios, la propiedad que estoy describiendo se puede afirmar de manera concisa $F^n(X)=X$* para algunos $n$, y se puede aplicar a funciones así como de los agentes en funciones.
Ya que esta se extiende naturalmente a integer $n$, idempotence y la involución serían ejemplos con los períodos de $1$ e $2$, respectivamente.
Si la multiplicación de la matriz se utiliza para representar la composición de funciones, luego de la propiedad en cuestión se aplica a cualquier $M$ tal que $M^n=\pm I$ para algunos $n$. Como Se Jagy señaló, en el ejemplo $f(x)=1-\frac{1}{x}$, $M^3=-I$ está dado por la transformación de Moebius $f(x)=\frac{x-1}{x+0}$.
Dado lo increíblemente general esta propiedad es y la cantidad de cosas a las que se aplica no hay absolutamente ninguna manera de que yo soy la primera persona a notar. Tiene que ser un libro o un papel en alguna parte, ¿verdad?
*En retrospectiva, esto debería haber sido evidente debido a que $f^{m+n}=f^m\implies f^n=f^0$
"Corolario"?
Si $$\frac{d^nf(x)}{dx^n}=f(x)$$ for some $n\in\mathbb{Z},n\neq0$, then $$\frac{d^{mn}f(x)}{dx^{mn}}=f(x)$$ and $$\int^{m(n-1)}f(x)\ dx^{m(n-1)}=f(x)$$ for all $m\in\mathbb{Z}$
