Función iterada 'periodicidad'

Question

Nota: $f^n$ indica la iteración de la composición, por ejemplo, $f^3(x)=(f\circ f\circ f)(x)$

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Me he dado cuenta de que determinadas funciones tienen una cierta propiedad donde por algún número $n$ de las iteraciones de la función de ciclo a través de un conjunto de valores de modo que $f^{m+n}(x)=f^m(x)$ para todos los $m\in\mathbb{N}$. Por ejemplo, si $f(x)=1-\frac{1}{x}$: $$f^1(x)=1-\frac{1}{x}$$ $$f^2(x)=1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{1}{1-x}$$ $$f^3(x)=1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}=x$$ $$f^4(x)=1-\frac{1}{x}$$ Por lo que el ciclo tiene un período de $n=3$. Hay un nombre para esta propiedad, y donde puedo encontrar más información? También, hay casos donde el 'periodo' $n$ varía como una función de la iterar $m$?

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Editar:

Como otros han señalado en los comentarios, la propiedad que estoy describiendo se puede afirmar de manera concisa $F^n(X)=X$* para algunos $n$, y se puede aplicar a funciones así como de los agentes en funciones.

Ya que esta se extiende naturalmente a integer $n$, idempotence y la involución serían ejemplos con los períodos de $1$ e $2$, respectivamente.

Si la multiplicación de la matriz se utiliza para representar la composición de funciones, luego de la propiedad en cuestión se aplica a cualquier $M$ tal que $M^n=\pm I$ para algunos $n$. Como Se Jagy señaló, en el ejemplo $f(x)=1-\frac{1}{x}$, $M^3=-I$ está dado por la transformación de Moebius $f(x)=\frac{x-1}{x+0}$.

Dado lo increíblemente general esta propiedad es y la cantidad de cosas a las que se aplica no hay absolutamente ninguna manera de que yo soy la primera persona a notar. Tiene que ser un libro o un papel en alguna parte, ¿verdad?

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*En retrospectiva, esto debería haber sido evidente debido a que $f^{m+n}=f^m\implies f^n=f^0$

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"Corolario"?

Si $$\frac{d^nf(x)}{dx^n}=f(x)$$ for some $n\in\mathbb{Z},n\neq0$, then $$\frac{d^{mn}f(x)}{dx^{mn}}=f(x)$$ and $$\int^{m(n-1)}f(x)\ dx^{m(n-1)}=f(x)$$ for all $m\in\mathbb{Z}$

Answer 1

la escritura de su función como la transformación de Moebius $$\frac{x-1}{x+0}$$ obtenemos la matriz $$M = \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$$ Tenga en cuenta que $M^2 -M+I=0$ lo $M^3 = -I$ Usted puede hacer algo similar con cualquier $$M = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right)$$ y $$\frac{ax+b}{cx+d}$$ tal que $M^n = I$ para algunos $n.$ también se permite disponer de elementos de $M$ complejo si se quiere.