Si $A$ es una matriz simétrica. Entonces todos los valores propios de $A^2$ son no negativos

Question

Para la respuesta, podemos apoyarnos en dos afirmaciones:
Reclamación 1: Si $A$ es real y simétrica, entonces tiene valores propios reales. Prueba aquí
Reclamación 2: Si $\lambda$ es un valor propio de $A$ entonces $\lambda^2$ es un valor propio de $A^2$ . Prueba aquí

Así que por esas dos afirmaciones podemos decir que si $\lambda$ es un valor propio de $A$ entonces el correspondiente valor propio $\lambda^2$ de $A^2$ es no negativo. Pero mi problema es cómo podemos garantizar que cubrirá todos los posibles valores propios de $A^2$ ?

Answer 1

Comienza con la diagonalización $$ A=PDP^{-1} $$ donde $P$ es la matriz de vectores propios y $D$ es la matriz diagonal con valores propios en la diagonal principal. Entonces $$ A^2=(PDP^{-1})(PDP^{-1})=PD^2P^{-1} $$ de la que se desprende la afirmación.

Answer 2

Una matriz simétrica es diagonalizable, $D=PAP^{-1}$ donde $A$ es simétrico y $D$ diagonal. $D^2=PA^2P^{-1}$ esto implica que los valores propios de $A^2$ son el cuadrado de los valores propios de $A$ .

Answer 3

Más que esto es cierto: si $B$ es cualquier matriz real, entonces los valores propios de $B^TB$ son reales y no negativos.

El hecho de que los valores propios sean reales se deduce de su afirmación 1.

Supongamos que $\lambda$ es un valor propio con un vector propio $v$ Entonces $$ \lambda(v^Tv)=v^T(\lambda v)=v^TB^TBv=(Bv)^T(Bv)\ge0 $$ así que $\lambda\ge0$ .

En su caso $A$ es simétrica, por lo que $A^2=A^TA$ .

Con la diagonalización se puede demostrar que los valores propios de $A^2$ son los cuadrados de los valores propios de $A$ pero no es necesario para demostrar la afirmación que tienes.

Answer 4

Supongamos que $J$ es una forma de Jordan de $A$ entonces debe quedar claro que los elementos diagonales de $J^2$ son los cuadrados de los elementos diagonales de $J$ . En otras palabras, los valores propios de $A^2$ son exactamente los cuadrados de los valores propios de $A$ . Esto es cierto para cualquier matriz cuadrada, y es cierto de forma mucho más general (es decir, los valores propios de la función de una matriz son las funciones de los valores propios de la matriz).

Por lo tanto, los valores propios son todos de la forma $x^2$ donde $x$ es real.

Answer 5

Dejemos que $\lambda = a+ib\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$ . Para cualquier $x\in\mathbb{C}^n$ tenemos

\begin{align} \|(A^2-\lambda I)x\|^2\|x\|^2 &\ge \left|\langle (A^2-\lambda I)x,x \rangle\right|^2 \\ &= \left|\langle A^2x,x\rangle - \lambda\langle x,x\rangle\right|^2\\ &= \left|\left(\|Ax\|^2 - a\|x\|^2\right) + ib\|x\|^2\right|^2\\ &= \left(\|Ax\|^2 - a\|x\|^2\right)^2 + |b|^2\|x\|^2\\ &\ge |b|^2\|x\|^4 \end{align} así que $\|(A^2-\lambda I)x\| \ge |b|\|x\|$ . Desde $b\ne 0$ vemos que $A^2-\lambda I$ está acotado por debajo y, por tanto, es inyectivo. Por lo tanto, $\lambda$ no es un valor propio de $A^2$ .

Ahora dejemos que $\lambda < 0$ . Para cualquier $x\in\mathbb{C}^n$ tenemos

$$\|(A^2-\lambda I)x\|\|x\| \ge \langle (A^2-\lambda I)x,x\rangle = \langle A^2x,x\rangle - \lambda\langle x,x\rangle = \|Ax\|^2 - \lambda \|x\|^2 \ge -\lambda \|x\|^2$$ así que de nuevo $A^2-\lambda I$ está acotado por debajo y, por tanto, es inyectivo. Por lo tanto, $\lambda$ no es un valor propio de $A^2$ .

Concluimos que los valores propios de $A^2$ están contenidas en $[0, +\infty\rangle$ .