Para $a_n$ positivo, $\prod_n \frac1{1+a_n}=0$ sólo si $\sum_n a_n=\infty$ .

Question

Esto tiene sentido intuitivamente, pero no sé muy bien cómo demostrarlo con rigor. ¿Alguna pista sobre cómo proceder?

Answer 1

Supongo $\lim_na_n=0$ de lo contrario es trivial: entonces $$ \ln\Pi_n\big({1\over{1+ a_n}}\big)=\sum -\ln(1+a_n), $$ y esto equivale a $-\sum a_n$ desde $$\ln(1+a_n)\simeq a_n\text{ if }\lim_na_n=0.$$

Answer 2

Sea $a_n\geq 0$ para todos $n.$ Por inducción en $n$ tenemos $$\prod_{j=1}(1+a_j)\geq 1+\sum_{j=1}^na_j.$$ Por tanto, si la suma diverge, también lo hace el producto.

Tenemos $\exp(a_j)\geq 1+a_j, $ así que $$\exp (\sum_{j=1}^na_j)\geq \prod_{j=1}^n(1+a_j).$$ Por tanto, si la suma converge, también lo hace el producto.

Answer 3

Hecho 1: Para cualquier $x\geq0$ tenemos $\ln(1+x)\leq x$ .

Pruebas: Sea $f:[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ se define por $f(x)=x-\ln(1+x)$ . Observe que $f'(x)=\frac{x}{1+x}\geq0,$ así que $f$ está aumentando. En cualquier $x\in[0,\infty)$ tenemos $f(x)\geq f(0)=0$ .

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Hecho 2: Para cualquier $x\in[0,1]$ tenemos $\ln(1+x)\geq\frac{x}{2}$ .

Prueba: Sea $g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ se define por $g(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{2}$ . Observe que $g'(x)=\frac{1-x}{2(1+x)}\geq0$ Así que $g$ está aumentando. Para cualquier $x\in[0,1]$ tenemos $g(x)\geq g(0)=0$ .

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Sea $P_{n}=\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{1+a_{k}}$ . Entonces \begin{eqnarray*} -\ln P_{n} & = & \sum_{k=1}^{n}\ln(1+a_{k})\\ & \leq & \sum_{k=1}^{n}a_{k}. \end{eqnarray*} Si $P_{n}\rightarrow0$ tenemos $-\ln P_{n}\rightarrow\infty$ Así que $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\infty$ .

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Para cada $k$ , dejemos que $b_{k}=\min(a_{k},1)\leq a_{k}$ . Entonces, \begin{eqnarray*} -\ln P_{n} & = & \sum_{k=1}^{n}\ln(1+a_{k})\\ & \geq & \sum_{k=1}^{n}\ln(1+b_{k})\\ & \geq & \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}b_{k}. \end{eqnarray*} Si $\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\infty$ tendremos $\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}=\infty$ . (Consideremos dos casos. Caso 1: Existe $N$ tal que $a_{k}\leq 1$ siempre que $k\geq N$ . En este caso, $\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}\geq\sum_{k=N}^{\infty}b_{k}=\sum_{k=N}^{\infty}a_{k}=\infty$ . Caso 2: No existe $N$ tal que $a_{k}\leq 1$ siempre que $k\geq N$ . Entonces, existe una subsecuencia $(a_{k_{l}})_{l}$ tal que $a_{k_{l}}>1$ . Tenemos que $\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}\geq\sum_{l=1}^{\infty}b_{k_{l}}=\sum_{l=1}^{\infty}1=\infty$ .) Por lo tanto, $-\ln P_{n}\rightarrow\infty$ y por lo tanto $\exp(-\ln P_{n})\rightarrow\infty$ . Pero $\exp(-\ln P_{n})=\frac{1}{P_{n}}$ . De ello se deduce que $P_{n}\rightarrow0$ .