El teorema de Lagrange: la inyectividad.

Question

Deje $U$ ser un subgrupo del grupo finito $G$ e $a\in G$.

Para mostrar del Teorema de Lagrange se define un mapa de $U \rightarrow aU$, $u\mapsto au$ y dijo que era bijective. Ahora para la inyectividad se utilizó el caso trivial de que para $au_1 = au_2\Leftrightarrow u_1=u_2$ , pero este usa la que añadimos $a^{-1}$ desde el lado izquierdo en ambos casos.

Ahora mi pregunta es, que por supuesto existe una $a^{-1}\in G$ pero no necesitamos tener $a^{-1}\in aU$ a añadirlo desde la izquierda? Y si es así, ¿cómo podemos mostrar $a^{-1}\in aU$?

Mejor, KingDingeling

Answer 1

No necesita tener $a^{-1} \in aU$ y no lo hará, por cierto, en casos de mot.

Por cierto, esto no es necesario para probar la inyectividad. El argumento que usa $a^{-1}$ no está haciendo esa hipótesis.

Answer 2

Bueno por lo que esencialmente lo que estamos tratando de mostrar es que si $au_1=au_2$ entonces $u_1=u_2$, y usted parece pensar que estamos restringidos por completo a trabajar dentro de $aU$ a ello. Pero este no es el caso en absoluto, de hecho desde $u_1$ e $u_2$ no puede ser en $aU$ (no en el caso de que $a\notin U$), por lo que no tiene sentido que nos podría mostrar $u_1=u_2$ , mientras trabajaba en su totalidad dentro del conjunto $aU$.

El punto es que estas igualdades nos preocupa que están ocurriendo dentro de $G$, por lo que es válido para el uso de cualquier elemento de $G$ a demostrar esta afirmación.