Es$\sum_{n,m \in \mathbb Z^2} e^{-\Vert n-m \Vert} \frac{1}{1+\Vert n \Vert^{1+\varepsilon}} \frac{1}{1+\Vert m \Vert^{1+\varepsilon}}$ sumable?

Question

Me gustaría preguntar si la expresión

$$\sum_{n,m \in \mathbb Z^2} e^{-\Vert n-m \Vert} \frac{1}{1+\Vert n \Vert^{1+\varepsilon}} \frac{1}{1+\Vert m \Vert^{1+\varepsilon}}$$

es finito?

Intuitivamente, esto debería ser el caso como en la distancia de la diagonal $n=m$ la exponencial está decayendo rápidamente y en la diagonal, esta expresión es summable, pero no puedo hacer es riguroso.

EDIT: La suma es de más de $n$ e $m$ tanto en $\mathbb Z^2.$

Answer 1

Note primero que todo es positivo.

Entonces

PS

Ahora, por cada $$\sum_{n,m \in \mathbb Z^2} e^{-\Vert n-m \Vert} \frac{1}{1+\Vert n \Vert^{1+\varepsilon}} \frac{1}{1+\Vert m \Vert^{1+\varepsilon}} \stackrel{m-n=k}{===}\sum_{k \in \mathbb Z^2}\sum_{m \in \mathbb Z^2} e^{-\Vert k \Vert} \frac{1}{1+\Vert m+k \Vert^{1+\varepsilon}} \frac{1}{1+\Vert m \Vert^{1+\varepsilon}} \\\stackrel{m-n=k}{===}\sum_{k \in \mathbb Z^2}e^{-\Vert k \Vert} \sum_{m \in \mathbb Z^2} \frac{1}{1+\Vert m+k \Vert^{1+\varepsilon}} \frac{1}{1+\Vert m \Vert^{1+\varepsilon}} $ que tienes por Cauchy-Schwartz (tienes que probar este paso mirando las sumas parciales)

PS

Ahora, es fácil argumentar que $k \in \mathbb Z^2$ $

Por lo tanto, $$\left(\sum_{m \in \mathbb Z^2} \frac{1}{1+\Vert m \Vert^{1+\varepsilon}} \frac{1}{1+\Vert m+k \Vert^{1+\varepsilon}} \right)^2 \leq \left( \sum_{m \in \mathbb Z^2} \frac{1}{(1+\Vert m\Vert^{1+\varepsilon})^2} \right)\left( \sum_{m \in \mathbb Z^2} \frac{1}{(1+\Vert m+k\Vert^{1+\varepsilon})^2} \right)\\=\left( \sum_{m \in \mathbb Z^2} \frac{1}{(1+\Vert m\Vert^{1+\varepsilon})^2} \right)^2