Encuentra todas las soluciones enteras para $2(x^2+y^2)+x+y=5xy$

Question

Encuentra todas las soluciones enteras para $2(x^2+y^2)+x+y=5xy$

Llevo mucho tiempo intentando resolver esta cuestión pero nunca he conseguido nada. Intenté volver a WolframAlpha y me dio que las soluciones enteras eran $x=y=2, x=y=0$ . Intenté hacerla para factorizarla y que quedara un número en el lado derecho para poder averiguar sus factores pero no pude factorizarla. También traté de hacerlo en la forma de: $(x-a_1)^2+(y-a_2)^2+(\text{ })(\text{ })$ pero no pudo determinar lo que se encontraría dentro de los paréntesis vacíos y los valores de $a_1,a_2$ . También intenté multiplicar la ecuación por $2$ para conseguir $4x^2=(2x)^2$ Otro intento fue asumir que WLOG $x\ge y \iff x=y+a$ lo que me daría esa $a=0$ y desde ahí podría conseguir que $x=y$ y por lo tanto $x=y=0,2$ de las matemáticas básicas. Espero que me ayuden con esta pregunta y gracias de todos modos.

Answer 1

$$ (2x-y-1)(x-2y+1) = -1 $$ Con los números enteros, debe tener $1 \cdot (-1)$ o $(-1) \cdot 1$ En ambos casos se obtiene una intersección de un par de líneas (no paralelas), por lo que sólo hay dos puntos en total

Answer 2

Sugerencia

$$2x^2+x(1-5y)+2y^2+y=0$$ es una ecuación cuadrática en $x$

El discriminante $d=(1-5y)^2-8(2y^2+y)=9y^2-18y+1=(3y-3)^2-8$

Como $d$ tiene que ser perfectamente cuadrado, $(3y-3)^2-8=z^2$ (decir)

$(3y-3-z)(3y-3+z)=8$

Como los multiplicandos tienen la misma paridad, ambos deben ser pares

$\dfrac{3y-3-z}2\cdot\dfrac{3y-3+z}2=2$

Answer 3

Tienes una ecuación cuadrática en $x$ con el parámetro $y$ : $$2x^2+x(1-5y)+2y^2+y=0$$ por lo que el discriminat debe ser prefectamente cuadrado $$ d^2 = (1-5y)^2-8(2y^2+y) = 9y^2-18y+1$$

Así que tenemos $$8 = 9(y-1)^2 -d^2 = (3y-3-d)(3y-3+d)$$

y ahora debería ser fácil...