¿Por qué podemos representar automorfismos en$\text{Gal}(\Bbb Q(\sqrt[4]{2},i)/\Bbb Q)$ como permutaciones en$S_4$ pero no$S_8$?

Question

La división de campo de la $x^4-2$ sobre $\Bbb Q$ es $G=\text{Gal}(\Bbb Q(\sqrt[4]{2},i)/\Bbb Q)$. Por primitivo elemento teorema, $K=\Bbb Q(\alpha)$ para algunos $\alpha$ e $[K:\Bbb Q]=8$. Así que sé que el polinomio mínimo de a$\alpha$ sobre $\Bbb Q$ tiene el grado $8$. Y, al mismo tiempo, hay ocho automorfismos en $G$.

Sin embargo, una cosa que no entiendo es que algunos autores denominaron la raíces de las $\sqrt[4]{2},~\sqrt[4]{2}i,~-\sqrt[4]{2},~-\sqrt[4]{2}i$ de $x^4-2$ como $1,~2,~3,~4$, y decir que todos los automorfismos en $G$ puede ser representado como una permutación. Por ejemplo, $\sigma_1=(1~~2~~3~~4)$. ¿Cómo podemos hacer esto? ¿Por qué sólo podemos analizar cómo las raíces $\sqrt[4]{2},~\sqrt[4]{2}i,~-\sqrt[4]{2},~-\sqrt[4]{2}i$ es afectado por la automorphism, y luego podemos decidir? Tal vez hay diferentes $\sigma,~\sigma'\in G$ tal que $\forall r\in\{\sqrt[4]{2},~\sqrt[4]{2}i,~-\sqrt[4]{2},~-\sqrt[4]{2}i\},~\sigma(r)=\sigma'(r)$.

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Answer 1

Recuerda que si $F$ es el campo de tierra, y $p(x)$ es un irreductible polinomio de más de $F$ grado $n\geq 1$ sin necesidad de repetir las raíces, vamos a $K$ ser la división de campo de la $p(x)$. $K/F$ es de Galois. Usted tiene que el grupo de Galois de $K/F$, decir $G$, está incrustado en $S_n$, esto es debido a que $G$ permutes las raíces.

En su problema, $F=\mathbb{Q}$ e $K$ es la división de campo de la $p(x)=x^4-2$, ya que sus raíces se $\sqrt[4]{2}$, $-\sqrt[4]{2}$, $i\sqrt[4]{2}$, $-i\sqrt[4]{2}$.

Para una mejor comprensión. El grupo de Galois actúa transitivamente sobre las raíces de este polinomio (es importante la irreductibilidad). Si usted no está claro sobre el grupo de Galois sin embargo, usted puede tomar intermedios campos, el estudio de la irredubile polinomio en la torre de campos y se sabe que el Grupo de Galois en algunos extensión de la torre de campos actúa transitivamente sobre la raíz y de la revisión de los elementos en el campo base. Por ejemplo, en este caso, si desea utilizar este método, considere la posibilidad de la torre de campos de $\mathbb{Q}\left(\sqrt[4]{2},i\right)\supset\mathbb{Q}\left(\sqrt[4]{2}\right)\supset \mathbb{Q}$, desde el $\mathbb{Q}\left(\sqrt[4]{2},i\right)/\mathbb{Q}\left(\sqrt[4]{2}\right)$ es de Galois (división de campo de la $x^2+1$), saber ahora que hay un $\sigma$ en $\mbox{Gal}\left(\mathbb{Q}\left(\sqrt[4]{2},i\right)/\mathbb{Q}\left(\sqrt[4]{2}\right)\right)$ tales que envían $i\mapsto -i$ (actúa sobre las raíces de la $x^2+1$) y deje $\mathbb{Q}\left(\sqrt[4]{2}\right)$ fijo, pero el grupo de Galois de la extensión si un subgrupo del grupo de Galois de $K/\mathbb{Q}$, lo $\sigma$ mentira a $\mbox{Gal}\left(K/\mathbb{Q}\right)$