Functors en la categoría de flecha

Question

Estoy estudiando Awodey de Categoría del libro de la teoría. Tengo problemas para entender la siguiente línea:

Observe que hay dos functors en la flecha de la categoría de decir $$ \begin{align} \mathscr{C} \xleftarrow{\textbf{dom}} \mathscr{C}^{\rightarrow} \xrightarrow{\textbf{cod}} \mathscr{C} \end{align} $$ donde $\mathscr{C}^{\rightarrow}$ es la flecha de la categoría correspondiente a $\mathscr{C}$.

No han mencionado lo que estos $\textbf{dom}$ e $\textbf{cod}$ son? ¿Cómo podemos demostrar que estas son functors?

A mi entender: Ahora, en el diagrama que se presenta a continuación:

$\textbf{dom}:\mathscr{C}^{\rightarrow} \xrightarrow{\textbf{dom}} \mathscr{C}$. Así,

$[f:A \to B] \mapsto A $ (asignación de objeto de functor $\textbf{dom}$) y si $g=(g_1,g_2):[f:A \to B] \to [f':A' \to B'] $, a continuación, $(g_1,g_2) \mapsto [f:A \to B]$ (los morfismos de asignación de functor $\textbf{dom}$ ).

Usando esta definición, Si se procede a probar la declaración: (a) $$ \textbf{dom} ( g:f \f' ) = \textbf{dom}(g): \textbf{dom}(f) \a \textbf{dom}(f') $$

LHS = $f:A \to B$ y RHS = $\textbf{dom}(g): A \to A'$ (lo cual parece absurdo) No estoy seguro de si esto tiene sentido.

Answer 1

Escritura: $$f\stackrel{(g_1,g_2)}{\to}f'\tag1$$ where $f,f'$ are objects of arrow category $\mathcal C^{\,}$ and pair $(g_1,g_2)$ is an element of homset $\mathcal C^{\,} (f,f')$ representa un diagrama de desplazamientos en la foto en tu pregunta.

Tenemos el functor $\mathbf{dom}:\mathcal C^{\to}\to\mathcal C$ prescrito por:$$[f\stackrel{(g_1,g_2)}{\to}f']\mapsto[\mathsf{dom}f\stackrel{g_1}{\to}\mathsf{dom}f']$$

Y tenemos el functor $\mathbf{cod}:\mathcal C^{\to}\to\mathcal C$ prescrito por:$$[f\stackrel{(g_1,g_2)}{\to}f']\mapsto[\mathsf{cod}f\stackrel{g_2}{\to}\mathsf{cod}f']$$

Con el fin de demostrar que $\mathbf{dom}$ e $\mathbf{cod}$ son functors debe ser demostrado tanto de ellos el respeto de las identidades y la composición.

Si $(1)$ representa una identidad, a continuación, $f=f'$ e $g_1,g_2$ son tanto las identidades en $\mathcal C$. Esto garantiza que las identidades son respetados.

Por la composición debemos expandir $(1)$ : $$f\stackrel{(g_1,g_2)}{\to}f'\text{ and }f'\stackrel{(g'_1,g'_2)}{\to}f''\tag2$$con desplazamientos de plazas.

Entonces tenemos: $$(g'_1,g'_2)\circ(g_1,g_2)=(g'_1\circ g_1,g'_2\circ g_2)$$asegurando que la composición es respetado.

Answer 2

El functor $\mathbf{dom}$ toma el objeto $f$ a $A,$ el objeto de $f'$ a $A';$ y toma la flecha $(g_1,g_2):f\to f'$ a $g_1.$ Aviso $g_1$ es una flecha $A\to A'$ como debe ser.

La identidad de morfismos $\mathrm{id}_f$ es simplemente $(\mathrm{id}_A, \mathrm{id}_{A'}),$ lo $\mathbf{dom}(\mathrm{id}_f) = \mathrm{id}_A$ como se requiere.

La composición de dos morfismos $(g_1,g_2)\circ (h_1,h_2)$ es $(g_1\circ h_1, g_2\circ h_2),$ , como puede verse en el dibujo de dos desplazamientos de los cuadrados de lado a lado. Por lo $\mathbf{dom}((g_1,g_2)\circ (h_1,h_2)) = g_1\circ h_1 = \mathbf{dom}((g_1,g_2))\circ\mathbf{dom}((h_1\circ h_2))$