Máximo del coeficiente principal cuando$\text{deg}P=6$,$0\leq P(x)\leq1$ para$-1\leq x\leq 1$.

Question

Deje $P(x)$ ser un polinomio real de grado 6 con la siguiente propiedad:

Para todos los $-1\leq x\leq 1$, tenemos $0\leq P(x)\leq 1$.

¿cuál es el máximo valor posible de los principales coeficiente de $P(x)$?

He obtenido respuestas obvias cuando el grado es 1 o 2, pero no podía resolver cuando el grado es de 6.

Tengo un presentimiento de que esto tiene algo que ver con los polinomios de Legendre, pero no estoy muy seguro. Cualquier consejo es bienvenido.

Answer 1

Deje $T(x)=\cos 6\theta$ $(x\in[-1,1])$ donde $x=\cos\theta$. El coeficiente inicial de $T$ es $2^{6-1}$ La máxima diferencia a $0$ se produce en $\theta_k=k\pi/6,k=0,1,\ldots,6$. Deje $x_k=\cos\theta_k$, cuando se $k$ es incluso, $T(x_k)=1$, cuando se $k$ es impar, $T(x_k)=-1$. Supongamos $\deg R=6$ y el coeficiente inicial de $R$ también $2^5$si $\max|R|<1$, $x_k$, tenemos $T(x_0)-R(x_0)>0$, $T(x_1)-R(x_1)<0$ ..., se cambia de signo, al menos, $6$ veces, en contradicción con $\deg T-R<6$. Por lo tanto para todo polinomio $Q$ s.t. $\deg Q=6$ y el coeficiente inicial es $2^{6-1}$,
el mínimo de $\max|Q|$, que es $1$, se produce cuando el $Q(x)=\cos6\arccos x$.
Ahora, denotan $L(x)=\frac12(Q(x)+1)/\max|Q|$, podemos ver que el máximo líder coeficiente de $L$ es $2^4=16$.

Answer 2

Sugerencia

El valor que estamos buscando es la misma que la del problema ... Para todos los $-1 \le x \le 1$, tenemos $-1/2 \le Q(x) \le 1/2$... como estamos a sólo resta $1/2$ a el polinomio que no cambia el coeficiente inicial.

Ahora el mapa $f(x) = \frac{1}{2^{6-1}}T_6(x)$ donde $T_n$ es el n-ésimo polinomios de Chebyshev es el tener $1$ para el coeficiente inicial y de un mínimo de $\infty$-norma (ver artículo de la Wikipedia para obtener más detalles). Y esta norma es igual a $\Vert f \Vert_\infty =\frac{1}{2^{6-1}}$. En el problema de permitir la norma a ser igual a $1/2$.

De ahí el valor que estás buscando es igual a $\frac{1/2}{1/2^{6-1}}=2^4=16$.