Rotación de ejes por 45 grados

Question

Estaba leyendo un libro en el que se menciona que:

Rotar los ejes de coordenadas por $45$ grados para que un punto $(x,y)$ se convierta en $(x+y,y-x)$ .

Aquí está la imagen 1

Aquí está la imagen 2

No entiendo cómo las nuevas coordenadas se convirtieron en $(x+y,y-x)$ . Si aplico la fórmula para la rotación de ejes obtendré $\sqrt{2}$ $(x-y, x+y)$.

Answer 1

Como se señaló, esa transformación no es una isometría (en la métrica euclidiana); es una rotación de $45^\circ$ combinada con una dilatación por $\sqrt{2}$.

Pero luego, al mirar las imágenes, no estamos viendo geometría euclidiana, sino que estamos viendo las distancias derivadas de la 1-norma $\|(x,y)\|_1=|x|+|y|$ y la norma $\infty$ $\|(x,y)\|=\max(|x|,|y|)$. Desde esa perspectiva, está bien dejar ese factor de escala para que la transformación tenga coeficientes racionales. La fórmula para $T^{-1}$ tendrá factores de $\frac12$, y eso no es gran cosa.

Sea $T(x,y)=(x+y,y-x)$. Las imágenes vinculadas dicen que $\|T(v)\|_{\infty}=\|v\|_1$. También obtenemos que $\|T(v)\|_1=2\|v\|_{\infty}$. Tomando dos pasos, $T^2(x,y)=(2y,-2x)$, lo que duplica ambas normas. Lo que esto está diciendo es que la geometría que obtenemos de la norma $1$ y la geometría que obtenemos de la norma $\infty$ son isomorfas, porque esta transformación $T$ transforma una distancia en la otra. Usar la versión irracional que es una isometría en la métrica euclidiana solo empeoraría las cosas al introducir un factor de $\sqrt{2}$ a las distancias que estamos viendo. Paso.

Answer 2

Estás rotando los ejes de coordenadas, no los puntos. Sea $(x,y)$ un punto en el plano. Entonces $(x,y)=x(1,0)+y(0,1)$. Una rotación de las coordenadas por $45^{\circ}$ lleva a $(1,0)$ a $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ y a $(0,1)$ a $(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$.

Para encontrar las nuevas coordenadas $(x',y')$ debemos resolver $$x'(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})+y'(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})=(x,y)$$

Agrupando términos en la parte izquierda de la ecuación e igualando coordenadas obtenemos $$x'-y'=\sqrt{2}x$$ $$x'+y'=\sqrt{2}y$$

La $\sqrt{2}$ corresponde a la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario que es $2$ en geometría del taxímetro. Sustituyendo $\sqrt{2}$ por $2$ en nuestro sistema de ecuaciones obtenemos $$x'-y'=2x$$ $$x'+y'=2y$$

Podemos resolver este sistema para $x'$ y $y'$ para obtener $$x'=x+y$$ $$y'=y-x$$ .

Edición:

Veo a muchos diciendo que esta transformación es una rotación seguida de una dilatación pero esto no es preciso. Una rotación debe preservar la longitud. En este caso, la longitud es la longitud del taxímetro. Toma $(1,0)$. Tiene una longitud del taxímetro de $1$ desde el origen. Si rotamos esto por $45^{\circ}$ bajo la métrica estándar obtenemos $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$. Pero la misma rotación bajo la métrica del taxímetro debe dar $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ para preservar la longitud del vector rotado.

Mi demostración anterior puede ser confusa porque no hago ese ajuste hasta después de la rotación con respecto a la métrica estándar.

Answer 3

Pensaría que el autor estaba más preocupado por la cuadrícula de cuadrados subyacente, tal como se muestra en tus imágenes vinculadas. Es decir, las coordenadas enteras deberían transformarse solo en coordenadas enteras, y no en algo irracional, involucrando un factor sqrt(2).

--- rk

Answer 4

En este texto, "rotar" se utiliza en un sentido amplio, ya que en realidad se combina con una escala por $\sqrt2$, para mantener coordenadas enteras.

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Girar es el verbo que corresponde a rotación. No hay verbo para "transformación de similitud".