Quiero demostrar que si $F$ es continua en $[a,b]$ entonces
$$\limsup_{h \rightarrow0, h>0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}$$
es medible.
Según la definición de $\limsup$ podemos escribir \begin {align} & \limsup_ {h \rightarrow0 , h>0} \frac {F(x+h)-F(x)}{h} \\ &= \lim_ { \delta\rightarrow 0} \left ( \sup_ {0<h< \delta } \ \frac {F(x+h)-F(x)}{h} \right ) \\ &= \lim_ {n \rightarrow \infty } \left ( \sup_ {0<h< \frac {1}{n}} \ \frac {F(x+h)-F(x)}{h} \right ). \end {align} Si mostramos $\sup_{0<h<\frac{1}{n}} \ \frac{F(x+h)-F(x)}{h}$ es medible, entonces podemos utilizar el hecho de que el límite de una secuencia contable de funciones medibles es también medible.
Quiero demostrar que $$\sup_{0<h<\delta}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\sup_{0<h<\delta,h \in \mathbb{Q}}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$$ Basta con demostrar que $$\sup_{0<h<\delta,h \in \mathbb{Q}}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\geq \sup_{0<h<\delta}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$$ . Dado $\epsilon>0$ existe $0<h_0<\delta$ tal que $$\frac{F(x+h_0)-F(x)}{h_0}>\sup_{0<h<\delta}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-\epsilon$$ Arreglemos $x$ . Desde $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$ es una función continua con variable $h$ existe un racional $0<q<\delta$ lo suficientemente cerca de $h_0$ tal que $$\left|\frac{F(x+q)-F(x)}{q}-\frac{F(x+h_0)-F(x)}{h_0}\right|<\epsilon$$ Por lo tanto, $$\frac{F(x+q)-F(x)}{q}>\sup_{0<h<\delta}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-2\epsilon$$ Desde $\epsilon$ es arbitraria, $$\sup_{0<h<\delta,h \in \mathbb{Q}}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\geq \sup_{0<h<\delta}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$$
