Evaluar

Question

Evaluar $$\sum_{r=2}^{\infty} \frac{2-r}{r(r+1)(r+2)}$ $

Así que en una parte anterior de la pregunta calculé que $$\sum_{r=1}^{n} \frac{2-r}{r(r+1)(r+2)} = \sum_{r=1}^{n}\left( \frac{1}{r}-\frac{3}{r+1}+\frac{2}{r+2}\right)=\frac{n}{(n+1)(n+2)}$ $

Entonces mi pregunta es, entonces, ¿por qué $$\sum_{r=2}^{\infty} \frac{2-r}{r(r+1)(r+2)} = -\frac{1}{6}$ $

Como pensé que sería $\frac{1}{2}$ .

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align}\frac{2-r}{r(r+1)(r+2)}&=\frac1r-\frac3{r+1}+\frac2{r+2}\\&=\frac1r-\frac1{r+1}-\frac2{r+1}+\frac2{r+2}.\end {align} Por lo tanto, su serie es naturalmente la suma de dos series telescópicas y su suma es $$\frac12-\frac23=-\frac16.$ $

Answer 2

Tenga en cuenta que \begin{align}\sum_{r=2}^\infty\left( \frac{1}{r}-\frac{3}{r+1}+\frac{2}{r+2}\right)&=\sum_{r=2}^\infty\left(\frac1r-\frac1{r+1}\right)-2\sum_{r=2}^\infty\left(\frac1{r+1}-\frac1{r+2}\right)\\&=\left(\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\cdots\right)-2\left(\frac13+\frac14-\frac14+\frac15-\cdots\right)\\&=\frac12-\frac23=-\frac16\end {align}

Answer 3

En realidad, su suma finita es igual a $$\sum_{r=2}^n\frac{2-r}{r(r+1)(r+2)}=\frac{2}{n+2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{6}$ $

Answer 4

Deje $\dfrac{2-r}{r(r+1)(r+2)}=f(r)-f(r+1),$ donde $ f(m)=\dfrac{am+b}{m(m+1)}$

$\implies2-r=(r+2)(ar+b)-r(ar+a+b)=ar+2b$

Establecer $2b=2\iff b=1,ar=-r\iff a=-1$

PS

Establezca $$\implies\sum_{r=1}^n\dfrac{2-r}{r(r+1)(r+2)}=\sum_{r=1}^n\left(f(r)-f(r+1)\right)=f(1)-f(n+1)$ y muestre que $n\to\infty$

Answer 5

Si $H_{n}$ es el $n$ -th número armónico , tenemos $$\sum_{r=2}^{n}\left(\frac{1}{r}-\frac{3}{r+1}+\frac{2}{r+2}\right)=\left(H_{n}-1\right)-3\left(H_{n}-1-\frac{1}{2}\right)+2\left(H_{n}-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)$$ $$=-1+\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{6}.$$ Now take the limit as $ n \ rightarrow + \ infty $ .