Distribución de probabilidad vs. función de masa de probabilidad (PMF): ¿cuál es la diferencia entre los términos?

Question

Considera un caso discreto. PMF es la probabilidad que obtiene cada valor de la variable aleatoria. Así, por ejemplo, X ~ Poisson(2). Yo trazo estas probabilidades (abajo), así que puedo decir que muestro la PMF de X. Pero por otro lado muestro la distribución de X. Por ejemplo, puedo decir si la distribución que tengo es simétrica o no. Entonces, ¿cuál es la diferencia entre los términos distribución de probabilidad y PMF (en caso discreto)? A continuación también traigo las definiciones de Wikipedia, pero tampoco es útil.

¡Muchas gracias!

Una función de masa de probabilidad (pmf) es una función que da la probabilidad de que una variable aleatoria discreta sea exactamente igual a algún valor.

Una distribución de probabilidad es una función matemática que proporciona las probabilidades de ocurrencia de diferentes resultados posibles en un experimento.

Answer 1

La palabra "distribución" a veces se usa de manera confusa, lo que puede causar confusión.

La distribución de una variable aleatoria $X$ es la función que toma un conjunto $S \subset \mathbb R$ como entrada y devuelve el número $P(X \in S)$ como salida. (Técnicamente debería asumir que $S$ es un subconjunto "bueno" de $\mathbb R$ en algún sentido, pero no nos preocupemos por eso). Creo que el artículo de Wikipedia sería más claro si solo nos diera esta definición de entrada.

La función de masa de probabilidad (PMF) de una variable aleatoria $X$ es la función que toma un número $x \in \mathbb R$ como entrada y devuelve el número $P(X=x)$ como salida. Si $X$ es una variable aleatoria discreta, entonces la PMF de $X$ es una forma conveniente de especificar la distribución de $X$.

Aquí hay una forma de describir la relación entre la distribución de $X$ y la PMF de $X$, en el caso en que $X$ sea una variable aleatoria discreta. Supongamos que los posibles valores de $X$ son $x_1,x_2,\ldots$ Si $f$ es la distribución de $X$, entonces $$ f(S) = \sum_{i : x_i \in S} P(X = x_i) $$ para cualquier conjunto $S \subset \mathbb R$.

Answer 2

No estoy al tanto de una definición/significado acordado para la distribución de probabilidad.

Por otro lado, las funciones de masa de probabilidad y las funciones de densidad de probabilidad tienen definiciones acordadas y se utilizan para describir distribuciones de probabilidad.

Una función de densidad de probabilidad es la generalización de funciones de masa de probabilidad para variables aleatorias que no son estrictamente discretas. En el caso de una variable aleatoria discreta, la diferencia principal es que la función de densidad de probabilidad debe integrar a uno, mientras que la función de masa de probabilidad debe sumar a uno.

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria discreta que toma valores $S=\{x_1,x_2,\ldots\} \subset \mathbb{R}$.

La función de masa de probabilidad es una función $p : S\to [0,1]$ donde $$ p(x) = \mathbb{P}(X=x) $$

Por otro lado, la función de densidad (de cualquier VA) puede considerarse como, $$ f(x)dx = \mathbb{P}(X\in[x+dx]) $$ En forma integral puedes escribir esto como, $$ \int_{x}^{x+dx} f(z)dz = \mathbb{P}(X\in [x,x+dx]) $$

Es decir, la densidad multiplicada por el ancho de un intervalo pequeño da la probabilidad de que $X$ esté en ese intervalo pequeño $X\in[x,x+dx]$.

Si la variable aleatoria es discreta, entonces la probabilidad de que $X$ esté en este intervalo es la misma que la probabilidad $X=x$ para $dx$ suficientemente pequeño. Así que tenemos $f(x)dx = \mathbb{P}(X=x)$ (o en forma integral, $\lim_{dx\to 0}\int_{x}^{x+dx} f(z)dz = \mathbb{P}(X=x)$).

En particular, si $p(x)$ es la pmf para una variable aleatoria discreta $X$, entonces podemos escribir la función de densidad como: $$ f(x) = \sum_{i:p(x_i)\neq 0} p(x_i) \delta(x-x_i) $$ donde $\delta(x)$ es la distribución delta; es decir, $\int_a^b f(x)\delta(c)d x = f(c)$ siempre que $c\in[a,b]$

Answer 3

Proporciono una explicación simple de esto aquí: ¿Diferencia entre "función de densidad de probabilidad" y "función de distribución de probabilidad"?. En resumen, una función de masa de probabilidad es una función de distribución de probabilidad discreta, donde discreta a menudo está implícita.

Answer 4

Función de Masa de Probabilidad.

Yo diría que la pmf de una variable aleatoria discreta es un gráfico o una tabla o una fórmula que especifica la proporción o probabilidades asociadas con cada posible valor que la variable aleatoria puede tomar.

Es una función que da la probabilidad de que una variable aleatoria discreta sea exactamente igual a algún valor.