¿Factorización ideal primaria única en dominios?

Question

Este es un seguimiento a esta pregunta.

Deje $A$ ser un dominio; deje $\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_k$ ser distinto primer ideales de $A$ tal que $\mathfrak p_i^{j+1}\ne\mathfrak p_i^j$ para todos los $1\le i\le k$, $j\ge1$; y deje $m$ e $n$ ser elementos de $\mathbb N^k$ tales que $$\mathfrak p_1^{m_1}\cdots\mathfrak p_k^{m_k}=\mathfrak p_1^{n_1}\cdots\mathfrak p_k^{n_k}$$ Can we conclude that $m$ and $$ n son iguales?

user26857 demostrado que la respuesta es Sí si $A$ es noetherian (ver esta respuesta). (Por supuesto, en este caso la condición de $\mathfrak p_i^{j+1}\ne\mathfrak p_i^j$ para todos los $j\ge1$ es equivalente a $\mathfrak p_i\ne(0)$.)

Answer 1

La respuesta es no.

Deje $G$ ser el grupo abelian $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ con la orden lexicographic, y deje $M\subset G$ ser el sub-monoid de los elementos que mayor que o igual a $(0,0)$. Definir monoid ideales $I_1:=\{(m,n):m\geq 1\text{ or }n\geq 1\}\subset M$ e $I_2:=\{(m,n):m\geq 1\}\subset M$. Para $j\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ e $I\subset M$ un ideal, escribir $jI:=\{i_1+\ldots+i_j:i_1,\ldots,i_j\in I\}\subset M$. Compruebe que todos los $j$, tenemos $jI_1\neq (j+1)I_1$ e $jI_2\neq (j+1)I_2$, pero $I_1+I_2=I_2$.

Tenemos un contraejemplo a su pregunta de tomar $A=k[M]$ a ser el monoid anillo de $M$ (donde $k$ es cualquier campo), $\mathfrak{p}_1=k[I_1]$, e $\mathfrak{p}_2=k[I_2]$. A continuación, $\mathfrak{p}_1^j\neq \mathfrak{p}_1^{j+1}$ e $\mathfrak{p}_2^j\neq \mathfrak{p}_2^{j+1}$, pero $\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2=\mathfrak{p}_2$.

Una forma alternativa de describir este ejemplo es $A=k[x,y,yx^{-1},yx^{-2},\ldots]$, $\mathfrak{p}_1=(x)$, $\mathfrak{p}_2=(y,yx^{-1},yx^{-2},\ldots)$.