¿Cuáles son las condiciones suficientes y necesarias que$-1 \in G$, donde$G$ es un grupo multiplicativo de un anillo?

Question

Estoy tratando de probar la siguiente conjetura.

Deje $(R, +,\times)$ ser un número finito de anillo con identidad. Deje $G$ ser un subgrupo de $(R,\times)$ con el fin de $d$. A continuación, $-1\in G$, si y sólo si $2\mid d$ o $\text{Char}(R)=2$.

Mi intento:

$\Leftarrow$: Caso 1:Si $\text{Char}(R)=2$, a continuación, $-1=1$. Desde $G$ es un grupo multiplicativo, la identidad $1\in G$. Por lo tanto $-1\in G$.

Caso 2: Si $2\mid d$, entonces ...(no sé cómo demostrar en este caso).

$\Rightarrow$: Supongamos que $-1 \in G$. A continuación, $(-1)^2=1\in G$. El multiplicativo orden de $-1$ es $2$ o $1$. Si $\text{Ord}(-1)=1$, a continuación, $-1=1$. En consecuencia, $\text{Char}(R)=2$. Si $\text{Ord}(-1)=2$, entonces debe haber un $\text{Ord}(-1) \mid \text{Ord}(G)$, es decir, $2\mid d$.

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Así que no $2\mid d$ implica que $-1\in G$ ? Si la hipótesis no se sostiene, entonces podremos tener una suficiente y necesaria condición de $-1 \in G$?

Gracias a Arthur, tenemos el siguiente resultado utilizando el hecho de que $-1$ es el único elemento de orden $2$.

Deje $(R, +,\times)$ integrante de dominio. Deje $G$ ser un subgrupo de $(R,\times)$ con el fin de $d$. A continuación, $-1\in G$, si y sólo si $2\mid d$ o $\text{Char}(R)=2$.

Answer 1

Contraejemplo: vamos a $R=\Bbb Z_{12}$ con el estándar de la suma y la multiplicación, y $G=\{1,5\}$.

Como para las condiciones suficientes, si $R$ es una parte integral de dominio con características diferentes de $2$, entonces la ecuación de $x^2=1$ tiene exactamente dos soluciones (rewrite $(x-1)(x+1)=0$ y el uso de la definición de integral de los dominios). Por lo tanto $-1$ es el único elemento con multiplicativo orden de $2$, y por Cauchy teorema debe ser en $G$ si $2\mid ord(G)$.

Answer 2

Claramente no es cierto: vamos a $R:= (\mathbb{Z}_3, +, \cdot)\times (\mathbb{Z}_3, +, \cdot)$ . Entonces $(1,1)$ es el elemento de identidad, y el subgrupo de elementos $2$ -elemento en el grupo multiplicativo $\{(1,-1),(1,1)\}$ no contiene $(-1,-1)$ .