Encontrar la cara común de las burbujas de jabón que se adhieren utilizando funciones trigonométricas de ángulos

Question

Estoy tratando de ayudar a mi hija con un problema del libro de Precálculo de Stewart. Este problema viene justo después de la ley de los senos.

Cuando dos burbujas se adhieren juntas en el aire, su superficie común es parte de una esfera cuyo centro D se encuentra en la línea que pasa a través de los centros de las burbujas (por favor consulte la figura a continuación) también los ángulos ACB y ACD tienen una medida de 60 grados cada uno

• Demuestre que el radio r de la superficie común está dado por r = ab / (b - a)
• Encuentre el radio de la superficie común si los radios de las burbujas son 3 cm y 4 cm

Pude hacer el segundo, pero después de usar la ley de los cosenos para encontrar la longitud del segmento AB en el triángulo CBA. Eso resultó ser Luego usé la ley de los senos en el triángulo ABC para encontrar el ángulo CAB = 73.897 grados

Ángulo CAD = 180 - ángulo CAB = 106.1 grados ángulo CDA = 180 - 106.1 - 60 = 13.897 grados

Luego utilicé la ley de los senos en el triángulo CAD para encontrar el valor de r

Pero no pude avanzar en el primero. También me parece que no necesito la ley de los cosenos para resolver este problema.

Cualquier ayuda será apreciada. Gracias

Answer 1

Por la ley de los cosenos, $$BD=\sqrt{a^2+r^2-2ar\cos(120)}$$ $$BA=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(60)}$$ $$AD=\sqrt{b^2+r^2-2br\cos(60)}$$ Dado que $BD=BA+AD$ ahora tenemos $$\sqrt{a^2+r^2-2ar\cos(120)}=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(60)}+\sqrt{b^2+r^2-2br\cos(60)}$$ Nótese que $\cos(60)=1/2$ y $\cos(120)=-1/2$. Por lo tanto, obtenemos $$\sqrt{a^2+r^2+ar}=\sqrt{a^2+b^2-ab}+\sqrt{b^2+r^2-br}$$ WolframAlpha ahora nos da la solución $r=ab/(a-b)$, aunque puedes demostrarlo a mano si es necesario al elevar al cuadrado ambos lados, aislando la raíz restante y luego elevando al cuadrado de nuevo ambos lados.

Para el segundo, simplemente sustituye $a=4$ y $b=3$ para obtener $r=12$.

Answer 2

Pista.

La línea $CA$ es el bisector del ángulo $\angle{DCB}$ por lo que

$$ \frac{BA}{AD} = \frac{a}{r} $$

Answer 3

Como este es un problema de tarea, simplemente daré un esquema de la respuesta. Denota la longitud de $\overline{AD}$ por $\ell$ y la longitud de $\overline{BA}$ por $s$.

Paso 1: Encuentra fórmulas agradables para $\ell^2, s^2$ en (y a lo sumo cuadráticas en) $a,b,r$ utilizando la ley de los cosenos.

Paso 2: Utiliza la ley de los senos, y que $\sin( \angle BAC) = \sin(\angle DAC)$, para mostrar que $a/s = r/\ell$.

Paso 3: La ecuación $r^2 = a^2 \ell^2/s^2$ es cuadrática en $r$. Muestra que tiene como soluciones $r = a, ab/(a-b)$.

Paso 4: Descubre por qué la solución $r=a$ es innecesaria.

Answer 4

Consideraciones de física de la tensión superficial.. la presión diferencial en cada lado de la pared determina los radios de los segmentos de burbujas esféricas

$$ \frac{1}{r}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b},~ a que es la relación entre las curvaturas. Está bien explicado en el enlace:

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Dos burbujas de interfase radio del círculo

$$ \angle BCD= 120^{\circ}$$

y CA es la bisectriz del ángulo en C.

Insertando $(a=3, b=4)$ obtenemos $r=12.$ Los ángulos, si son necesarios, se calculan a partir de la Regla del Coseno.

Si hay tres burbujas coalescentes, será aún más interesante derivar y encontrar a lo largo de líneas similares, que cada círculo tangente en el vértice común hace el mismo $ \angle 120^{\circ}$ entre ellos.

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