Encontrar la cara común de burbujas de detergente que se adhieren usando funciones trigonométricas de ángulos

Question

Estoy tratando de ayudar a mi hija con un problema del libro de Precálculo de Stewart. Este problema viene justo después de la ley de los senos.

Cuando dos burbujas se adhieren juntas en el aire, su superficie común es parte de una esfera cuyo centro D se encuentra en la línea que pasa a través de los centros de las burbujas (por favor refiérase a la figura de abajo) también los ángulos ACB y ACD tienen cada uno una medida de 60 grados

• Demuestra que el radio r de la superficie común está dado por r = ab / (b - a)
• Encuentra el radio de la cara común si los radios de las burbujas son 3 cm y 4 cm

Pude hacer el segundo, pero después de usar la ley de los cosenos para encontrar la longitud del segmento AB en el triángulo CBA. Eso resultó ser Luego usé la ley de los senos en el triángulo ABC para encontrar el ángulo CAB = 73.897 grados

Ángulo CAD = 180 - ángulo CAB = 106.1 grados ángulo CDA = 180 - 106.1 - 60 = 13.897 grados

Luego usé la ley de los senos en el triángulo CAD para encontrar el valor de r

Pero no pude avanzar con el primero. También me parece que no necesito la ley de los cosenos para resolver este problema.

Se agradecerá cualquier ayuda. Gracias

Answer 1

Según la ley de los cosenos, $$BD=\sqrt{a^2+r^2-2ar\cos(120)}$$ $$BA=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(60)}$$ $$AD=\sqrt{b^2+r^2-2br\cos(60)}$$ Dado que $BD=BA+AD$ ahora tenemos $$\sqrt{a^2+r^2-2ar\cos(120)}=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(60)}+\sqrt{b^2+r^2-2br\cos(60)}$$ Observa que $\cos(60)=1/2$ y $\cos(120)=-1/2$. Por lo tanto, obtenemos $$\sqrt{a^2+r^2+ar}=\sqrt{a^2+b^2-ab}+\sqrt{b^2+r^2-br}$$ WolframAlpha ahora da la solución $r=ab/(a-b)$, aunque puedes demostrarlo manualmente si es necesario elevando al cuadrado ambos lados, aislando la raíz restante y luego volviendo a elevar al cuadrado ambos lados.

Para el segundo, simplemente sustituye $a=4$ y $b=3$ para obtener $r=12$.

Answer 2

Pista.

La línea $CA$ es el bisector del ángulo $\angle{DCB}$ así que

$$ \frac{BA}{AD} = \frac{a}{r} $$

Answer 3

Como este es un problema de tarea, simplemente daré un esbozo de la respuesta. Denota la longitud de $\overline{AD}$ por $\ell$ y la longitud de $\overline{BA}$ por $s$.

Paso 1: Encuentra fórmulas agradables para $\ell^2, s^2$ en (y a lo sumo cuadráticas en) $a,b,r$ usando la ley de los cosenos.

Paso 2: Usa la ley de los senos, y que $\sin( \angle BAC) = \sin(\angle DAC)$, para mostrar que $a/s = r/\ell$.

Paso 3: La ecuación $r^2 = a^2 \ell^2/s^2$ es cuadrática en $r$. Muestra que tiene como soluciones $r = a, ab/(a-b)$.

Paso 4: Descubre por qué la solución $r=a$ es innecesaria.

Answer 4

Consideraciones de física de tensión superficial... la presión diferencial en cada lado de la pared determina los radios de los segmentos de burbujas esféricas

$$ \frac{1}{r}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b},~ a que es la relación entre las curvaturas. Está bien explicado en el enlace:

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Dos burbujas intersecan el radio del círculo

$$ \angle BCD= 120^{\circ}$$

y CA es la bisectriz del ángulo en C.

Insertando $(a=3, b=4)$ obtenemos $r=12.$ Los ángulos, si se requieren, se calculan a partir de la Regla del Coseno.

Si hay tres burbujas coalescentes, será aún más interesante derivar y encontrar a lo largo de líneas similares, que cada círculo tangente en el vértice común hace el mismo $ \angle 120^{\circ}$ uno al otro.

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