Lema:
Para cada número $n\in N$ que no es divisible entre 2 y 5, existe $k\in N$ tal que $n\mid10^k-1$
Prueba: Supongamos que la afirmación no es verdadera, es decir $10^k-1\not\equiv0 \pmod n$ para todos los valores de $k$ . Hay infinitos valores de $k$ y sólo $n-1$ valores posibles ( $1\dots n-1$ ) para $10^k-1\pmod n$ . Así que por el principio de pidgeon hole hay dos valores diferentes $k_1, k_2$ tal que:
$$10^{k_1}-1\equiv10^{k_2}-1\pmod n,\quad (k_1>k_2)$$
Esto significa simplemente que:
$$10^{k_1}-10^{k_2}\equiv0\pmod n$$
$$10^{k_2}(10^{k1-k2}-1)\equiv0\pmod n$$
Número $n$ no tiene los factores 2 y 5 por lo que obviamente $n\nmid 10^{k_2}$ lo que implica que $n\mid(10^{k_1-k_2}-1)$ o:
$$n\mid10^k-1$$
...donde $k=k_1-k_2$ .
Fin de la demostración del lema.
Parte 1:
Demostremos ahora que:
Para cada número $n$ tal que $2\nmid n$ y $5\nmid n$ , representación decimal de $1/n$ no tiene ninguna parte pre-periódica. En otras palabras, $1/n$ se puede escribir como: $$\frac 1n=0.aaa\dots=0.\bar{a}\tag{1}$$
...donde $a$ representa un grupo de dígitos repetidos (que pueden empezar por cero) de longitud $l_a$ . Por ejemplo, para $n=7$ : $1/7=0.\overline{142857}$ Así que $a=142857$ y $l_a=6$ .
Se puede demostrar fácilmente que (1) se puede reescribir de la siguiente manera:
$${\frac1n}=\frac{a}{10^{l_a}-1}$$
$$a=\frac{10^{l_a}-1}{n}$$
Según nuestro lema, está garantizado que existe $l_a$ tal que $n\mid 10^{l_a}-1$ por lo que es posible encontrar $a$ por cada $n$ tal que $1/n=0.\bar{a}$ sin una parte pre-periódica.
Parte 2
Si $2\mid n$ o $5\mid n$ , representación decimal de $1/n$ tiene una parte pre-periódica: $$\frac1n=0.b\overline {a}\tag{2}$$
...con la longitud del grupo preperiódico de dígitos $b$ igual a $l_b$ y la longitud del grupo periódico de dígitos $a$ igual a $l_a$ .
Supongamos lo contrario, que hay algún número $n$ divisible por 2 o por 5 tal que:
$$\frac1n=0.\bar{a}=\frac{a}{10^{l_a}-1}$$
$$na=10^{l_a}-1$$
...lo cual es imposible porque el LHS es divisible por 2 o 5 y el RHS claramente no lo es.
Basándonos en las partes 1 y 2 ahora sabemos que:
Representación decimal de $1/n$ tiene parte preperiódica si y sólo si $2\mid n$ o $5\mid n$ .
Parte 3
Para un número $n$ de la forma $n=2^p5^qm$ y $2,5\nmid m$ la longitud de la parte preperiódica es exactamente $\max(p,q)$ .
Se puede demostrar fácilmente que cualquier número de la forma $0.b\bar{a}$ se puede escribir como:
$$0.b\bar{a}=\frac{b}{10^{l_b}}+\frac{a}{10^{l_b}(10^{l_a}-1)}\tag{3}$$
Porque $m$ no es divisible por 2 ni por 5, podemos escribir $1/m$ como:
$$\frac1m=\frac{a}{10^{l_a}-1}$$
lo que significa que:
$$\frac1n=\frac1{2^p5^q} \cdot \frac1m$$
Si introducimos:
$$r=\max(p,q)$$
nos encontramos con que:
$$\frac1n=\frac{2^{r-p}5^{r-q}}{10^r} \cdot \frac1m=\frac{2^{r-p}5^{r-q}a}{10^r(10^{l_a}-1)}\tag{4}$$
Ahora mira (4) con atención.
Caso 1:
$$2^{r-p}5^{r-q}a<10^{l_a}-1$$
Comparando (3) y (4), la longitud de la parte preperiódica es $r$ y la parte preperiódica está formada por ceros $b=0$ . La parte periódica es igual a $2^{r-p}5^{r-q}a$ y la longitud de la parte periódica es $l_a$ .
Caso 2:
$$2^{r-p}5^{r-q}a>10^{l_a}-1$$
En ese caso puedes escribir:
$$2^{r-p}5^{r-q}a=s(10^{l_a}-1)+a_1$$
...y (4) se convierte en:
$$\frac1n=\frac{s(10^{l_a}-1)+a_1}{10^r(10^{l_a}-1)}=\frac{s}{10^r}+\frac{a_1}{10^r(10^{l_a}-1)}$$
Comparando la última expresión con (4), la longitud de la parte preperiódica $s$ es de nuevo $r$ y la longitud de la secuencia repetida $a_1$ es de nuevo $l_a$ .
Conclusión
- La longitud de la parte periódica en la representación decimal de $1/n$ se determina por la longitud de la parte periódica en $1/m$ con $m$ siendo el mayor divisor de $n$ tal que $2\nmid m$ y $5\nmid m$ .
- La parte preperiódica sólo existe si $n$ es de la forma $2^p5^qm$ .
- La longitud de la parte preperiódica es $\max(p,q)$
Un ejemplo interesante
$$\frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421}$$
La parte periódica tiene 18 dígitos. Ahora echa un vistazo:
$$\frac{1}{760}=\frac{1}{2^3\cdot5\cdot19}=0.001\overline{315789473684210526}$$
La parte preperiódica tiene una longitud de 3 (porque la mayor potencia de 2 o 5 en $n=760$ es 3). Y la parte periódica tiene una longitud de 18, la misma que en $1/19$ .
