¿Cómo clasificar las órbitas$\mathbb N^2$?

Question

Estoy seguro de que la respuesta a esta pregunta es bien conocido, pero no sé cómo buscarlo. Tampoco sé cómo etiquetar a la pregunta. Siéntase libre de volver a etiquetar! O marcarlo como un duplicado!

Decir que un $\mathbb N$-set es un conjunto de $X$ junto con un endomap $s:X\to X$. La noción de isomorfismo de $\mathbb N$-conjuntos es la más obvia. Dado un punto de $x$ de $\mathbb N$-set $X$, dicen que la órbita de $x$ es $$ \{s^n(x)\ |\ n\in\mathbb N\}. $$ Este es un sub-$\mathbb N$- $X$. Dicen que las órbitas de $x\in X$ e de $y\in Y$ son isomorfos si existe un isomorfismo entre la primera y la segunda asignación $x$ a $y$.

El $\mathbb N$de las órbitas son fácilmente clasificada hasta isomorfismo, y es evidente que existe una analógica de las definiciones anteriores con $\mathbb N^2$ en lugar de $\mathbb N$.

Mi pregunta es

Cómo clasificar las $\mathbb N^2$de las órbitas?

Editar Un $\mathbb N^2$-set es un conjunto equipado con dos desplazamientos endomaps.

Aquí está la clasificación de $\mathbb N$de las órbitas hasta el isomorfismo me gustaría generalizar a $\mathbb N^2$de las órbitas:

Les voy a dar ejemplos de $\mathbb N$de las órbitas, y la afirmación de que cualquier $\mathbb N$-órbita es isomorfo a exactamente uno de los ejemplos.

El primer ejemplo es $\mathbb N$ sí vistos como la órbita de $0$ bajo el estándar sucesor del mapa de $n\mapsto n+1$.

Otros ejemplos son finitos, y vienen como dos parámetro de familia.

Set $X:=\{x_0,\dots,x_n\}$ con $n\ge0$, vamos a $k$ ser un entero tal que $0\le k\le n$, y definir $s:X\to X$ por $s(x_0)=x_1,\dots,s(x_{n-1})=x_n,s(x_n)=x_k$. (Una órbita similar a la letra " P - o la letra O si $k=0$.)

Deje $Y$ ser una órbita de partida con $y\in Y$.

Si $Y$ es infinito, $(Y,y)$ es isomorfo a $(\mathbb N,0)$ con la habitual sucesor mapa.

Si $Y$ es finito, no hay una única $(k,n)\in\mathbb N^2$ tal que $(Y,y)$ es isomorfo a la órbita $(X,x_0)$ descrito anteriormente.

La verificación se deja para el lector.

Answer 1

Me voy a dar una respuesta parcial al tratar de responder a lo que el "cíclica" parte de la clase se pueden parecer.

Deje $(Y,y)$ ser $\newcommand\NN{\Bbb{N}}\NN^2$-órbita, con $r$ e $s$de los desplazamientos endomaps.

Definir un $\newcommand\ZZ{\Bbb{Z}}\ZZ^2$-set $Z$ por $Z=Y\times Y/\sim$, donde $(m,0)$ hechos por $r^m$ en la primera copia para $m > 0$, $(-m,0)$ hechos por $r^m$ en el segundo ejemplar de $Y$, de nuevo con $m> 0$, y $(0,n)$ hechos por $s$ en la primera o segunda copia de acuerdo a su signo. A continuación, el $\sim$ relación se $(y_1,y_2)\sim (y_3,y_4)$ si existe el $a,b\in\NN$ tal que $r^as^by_1=r^as^by_3$ e $r^as^by_2=r^as^by_4$. No es difícil comprobar que $\sim$ formas una relación de equivalencia en que se respeta la acción del grupo.

Esencialmente, estamos formando el grupo de Grothendieck de la imagen de $\NN^2$ en $\operatorname{End}(X)$.

Tenga en cuenta que si $a,b,c,d\in\NN$, a continuación, $(a-b,c-d)[(y_1,y_2)]=[(r^as^cy_1,r^bs^dy_2)]$.

Esto implica que $\ZZ^2$ actúa transitivamente sobre $Z$, desde el $Y$ es $\NN^2$órbita:

Deje $[(y_1,y_2)]\in Z$. Deje $y_1 = r^as^b y$ e $y_2 = r^cs^d y$. Entonces $[(y_1,y_2)] = (a-c,b-d)[(y,y)]$, por lo que cada elemento de a$Z$ está en la órbita de $[(y,y)]$.

Por lo tanto $Z$ como $\ZZ^2$es isomorfo a $\ZZ^2/K$ para algunos $K\subseteq \ZZ^2$.

En particular, sin embargo, sabemos que $K$ es libre de rango 0, 1, o 2.

Si $K$ es libre de rango 0, $K=0$, y no hay ninguna que no sea trivial relaciones en $Z$, por lo que no puede haber ninguna que no sea trivial relaciones en $Y$ , ya que se puede pensar de $Z$ cuando se describe a la "eventual" comportamiento de la $Y$. Por lo tanto si $K=0$, $Y$ es isomorfo a $(\NN^2,0)$.

Si $K$ es libre de rango 1, $K=\langle (n,m) \rangle$, a continuación, $Y$ se ve algo así como lo que usted consigue enrollando una hoja de papel en una dirección, pero tal vez en un ángulo de la real de líneas del papel. El comienzo es un poco más difícil de trabajar, pero es finalmente cíclica en una dirección, y una dirección sin la ciclicidad.

Si $K$ es libre de rango 2, $Y$ se ve como una especie de (discreta) de toro, de nuevo, la primera parte es un poco difícil de trabajar, pero eventualmente $Y$ tipo de aspecto de un toro, con dos direcciones de la ciclicidad.

Espero que esto sea útil, y tal vez esto puede ser convertida en una respuesta completa, pero no tengo tiempo ahora para averiguar un enunciado preciso de la expresión algebraica de la relación entre el $Z$ e $Y$o a trabajar de lo que el principio de comportamiento puede parecer.

Por ejemplo, parece probable que $Y$ podría empezar por conseguir una dirección de ciclicidad, y continuar por un tiempo antes de conseguir su segunda dirección de la ciclicidad, formando una especie de P de la forma, pero con una parte plana hacia la izquierda, y donde la $P$ forma está hecha de tubos.

Edit he encontrado una fuente de llamar a estas trayectorias en lugar de órbitas (que hace un montón de sentido), pero no he encontrado nada en la clasificación de trayectorias para $\NN^2$

Answer 2

Permítanme aumentar la respuesta de @jgon, que produce una gruesa clasificación de $\mathbb N^2$ órbitas de acuerdo con las correspondientes de los subgrupos $K < \mathbb Z^2$ e $\mathbb Z^2$ establecer $Z = \mathbb Z^2 / K$. Esa respuesta también muestra que si $K$ tiene rango $0$ entonces solo hay uno correspondiente a$\mathbb N^2$ órbita.

Te voy a mostrar que, si el subgrupo $K < \mathbb Z^2$ tiene rango $1$ o $2$ luego hay infinitamente muchas clases de $\mathbb N$de las órbitas correspondientes a $K$. Por supuesto, el grupo $K$ actúa en $\mathbb Z^2$ por adición, $$(k,l) \cdot (i,j) = (k+i,l+j) \quad \text{for each $(k,l) \in K$ and $(i,j) \in \mathbb Z^2$} $$ El $K$-órbita de $(i,j)$ será denotado $$(i,j) + K = \{(k+i,l+j) \mid (k,l) \in K\} $$ y el $\mathbb Z^2$ serie correspondiente a $K$ será denotado $A$Z = \mathbb Z^2 / K = \{(i,j) + K \mid (i,j) \in \mathbb Z^2\} $$

Básicamente la idea es construir una $\mathbb N^2$ establecer $Y = A \cup Z$ donde $Z$ es el "periódico" parte de la acción y $A$ es el "preperiodic parte" de la acción (lo @jgon llama el "comienzo"). Así que tengo que describir lo $A$ puede ser.

Deje $A \subset \mathbb N^2$ ser un subconjunto que es complemento cerrado con respecto a la acción de adición de $\mathbb N^2$ sobre sí mismo, lo que significa que para todos los $(a,b) \in \mathbb N^2 - A$ e $(m,n) \in \mathbb N^2$ tenemos $(a+m,b+n) \in \mathbb N^2 - A$. Por ejemplo, aquí están algunas complemento de conjuntos cerrados: $$A = \{(1,j) \mediados de los j \in \mathbb N\} \cup \{(i,1) \a mediados de i \in \mathbb N\} $$ y $$A = \{(i,j) \in \mathbb N^2 \mid ij > 42\} $$ Ahora definir el $\mathbb N^2$ establecer $Y_A = A \cup (\mathbb Z^2 / K)$, con la siguiente acción de $\mathbb N^2$: $(m,n) \in \mathbb N^2$ tenemos:

• Si $(i,j) + K \in \mathbb Z^2 / K$ entonces $(m,n) \cdot \bigl( (i,j) + K \bigr) = (m+i,n+j) + K$
• Si $(i,j) \in A$ e $(m+i,n+j) \in \mathbb N^2 - A$ entonces $(m,n) \cdot (i,j) = \bigl( (m+i,n+j) + K \bigr)$
• Si $(i,j) \in A$ e $(m+i,n+j) \in A$ entonces $(m,n) \cdot (i,j) = (m+i,n+j)$

Hay infinitamente muchos complementar cerrado subconjuntos $A \subset \mathbb N^2$ (al principio pensé que había una cantidad no numerable de diferentes $A$, pero ahora estoy pensando que hay sólo countably muchos). Es bastante claro que si $K$ es fijo, y si $A_1 \ne A_2$ son distintos complemento de conjuntos cerrados, entonces la $\mathbb N^2$ conjuntos de $Y_{A_1}$ e $Y_{A_2}$ son no equivalentes.