¿Se cumple el teorema de Cauchy si sólo suponemos la acotación?

Question

Dejemos que $f$ sea una función $\mathbb C \to \mathbb C$ . No estoy asumiendo $f$ es analítico en $\mathbb C$ por lo que Cauchy-Goursat no se aplica.

Supongamos que $\gamma$ es un contorno cerrado simple, y supongamos que la región $D = {\rm int}(\gamma) \cup \gamma$ puede ser aproximado arbitrariamente por pequeños cuadrados de tamaño arbitrariamente pequeño. Me gustaría saber si $\oint_\gamma f = 0$ bajo el supuesto de que $f$ es continua y acotada en $D$ .

Creo que la respuesta es sí. Ya que la integral alrededor de $\gamma$ es equivalente a sumar las integrales de todos los cuadrados pequeños, basta con demostrar que la integral alrededor de los cuadrados pequeños se aproxima a cero, lo que se deduce trivialmente de la desigualdad de Cauchy ML si $f$ está acotado en $D$ .

¿Es esto correcto? Entonces, ¿no es necesario asumir la analiticidad si una función continua está acotada?

Answer 1

Es cierto que, a medida que el tamaño del cuadrado se acerca a cero, las contribuciones de los cuadrados individuales tienden a cero. Pero a medida que el tamaño del cuadrado se aproxima a cero, las número ¡de cuadrados tiende al infinito! Para que tu argumento funcione, necesitas algún tipo de garantía de que la velocidad a la que se reducen las integrales de los cuadrados individuales es suficiente para compensar la velocidad a la que aumenta el número de cuadrados. Aquí es donde requerimos la holomorficidad, en lugar de sólo la acotación.

Para tener una perspectiva diferente de esto, vamos a intentar construir una prueba rigurosa en el caso especial de que el contorno original $C$ es un gran cuadrado de ancho $L$ . Aunque este no es el caso más general, es suficiente para identificar dónde se rompe la prueba.

Así que vamos a suponer $$ \left| \oint_{C} dz \ f(z) \right| = \epsilon.$$ para algunos positivo $\epsilon > 0$ . Queremos derivar una contradicción de esta suposición.

Pues bien, si el módulo de la integral de $f$ alrededor de $C$ es $\epsilon$ Luego, subdividiendo el gran cuadrado en cuartos para crear cuatro minicuadros de anchura $L/2$ vemos que el módulo de la integral de $f$ en al menos una de estas cuatro casillas debe ser mayor o igual a $\epsilon / 4$ . Continuando con la subdivisión de esta manera, vemos que, para cualquier $n \geq 0$ existe algún cuadrado $C_n$ de ancho $L/2^n$ tal que

$$ \left| \oint_{C_n} dz \ f(z) \right| \geq \frac{\epsilon}{4^n}.$$

¿Esto lleva a una contradicción? No, si sólo suponemos que $f$ está acotado. Con $|f(z) | \leq M$ (digamos), la desigualdad ML da

$$ \left| \oint_{C_n} dz \ f(z)\right| \leq 4 \times \frac{L}{2^n} \times M,$$ y no hay contradicción. Sí, la desigualdad de ML nos dice que $\oint_{C_n} dz \ f(z) \to 0$ como $n \to \infty$ . Pero $\oint_{C_n} dz \ f(z)$ no se hace pequeño a un ritmo lo suficientemente rápido como para contradecir $ \left| \oint_{C_n} dz \ f(z) \right|$ siendo mayor o igual que $\epsilon / 4^n$ .

Si hacemos la suposición más fuerte de que $f$ es holomorfa, entonces podemos obtener un límite más estricto en los tamaños de estas integrales, uno que hace conducen a una contradicción. Sea $a$ sea el punto (único) contenido dentro de todos los cuadrados $C_n$ . Desde $f$ es diferenciable en $a$ tenemos

$$ f(z) = f(a) + f'(a)(z - a) + v_a(z)(z - a),$$

donde $v_a(z)$ es una función que tiende a cero cuando $z \to a$ . Por lo tanto, debe existir algún $n \geq 0$ tal que $|v_a(z)| < \frac \epsilon {8L^2}$ en $C_n$ y por lo tanto $|v_a (z) (z - a)| < \frac \epsilon {8L^2} \times \frac{2L}{2^n}$ en $C_n$ . Aplicando ahora la desigualdad de ML, y recordando que la integral de la función lineal $f(a) + f'(a)(z - a)$ alrededor de cualquier contorno cerrado es cero, obtenemos el límite más ajustado,

$$ \left| \oint dz \ f(z) \right| = \left| \oint dz \ v_a(z)(z - a)\right| < 4 \times \frac{L}{2^n} \times \frac \epsilon {8L^2} \times \frac{2L}{2^n} = \frac{\epsilon}{4^n}.$$

Este límite, obtenido asumiendo la holomorficidad, es mucho más ajustado que el que obtuvimos asumiendo sólo la acotación, y es lo suficientemente ajustado como para derivar una contradicción.

Answer 2

Kenny Wong ha explicado muy bien por qué su argumento propuesto es erróneo. La conclusión del argumento también es falsa, y de hecho es falsa de la manera más fuerte posible: el resultado del teorema de Cauchy es verdadero sólo para las funciones analíticas y ninguna otra. Más precisamente, el siguiente teorema (conocido como teorema de Morera) es verdadero:

Teorema : Supongamos que $U$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{C}$ y $f:U\to\mathbb{C}$ es una función continua tal que $\int_\gamma f(z)\,dz = 0$ para cualquier curva cerrada rectificable (o incluso simplemente lineal a trozos) $\gamma$ en $U$ . Entonces $f$ es analítico.

Para esbozar la prueba, si $f$ satisface esta condición, entonces podemos encontrar una antiderivada de $f$ integrando (al igual que hacemos con el teorema fundamental del cálculo para funciones sobre $\mathbb{R}$ excepto que necesitamos saber que la integral en una curva cerrada es siempre $0$ para estar seguros de que está bien definida). Pero la derivada de una función analítica es analítica, así que esto implica $f$ es analítica.