Grupo de transformación de la cubierta en geometría algebraica

Question

Sea $f:X\to Y$ sea un morfismo finito entre variedades (irreducibles). Podemos definir $\operatorname{Aut}(X/Y)$ es el automorfismo de $X$ conmuta con $f$ . Para el caso sobre $\mathbb C$ también podemos definir el grupo monodromía $G$ sea la imagen de la acción de monodromía.

Mi pregunta es

¿Es cierto que $G\cong \operatorname{Aut}(X/Y)$ ?

Sé que esto es cierto en el entorno topológico (edito: debería ser "en el entorno birracional" o "en la parte no ramificada") y también en el caso de dimensión uno. Así que la pregunta es, si los datos de monodromía, digamos la acción de monodromía de algún bucle, determina un morfismo $X \to X$ ¿en general?

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Edita: Tiendo a creer que esto no es cierto. Supongamos que lo es, entonces para cualquier morfismo finito de grado $d>1$ existe algún automorfismo no trivial $g:X\to X$ que conserva la fibra. Esta podría ser una forma de construir contraejemplos.

Answer 1

Siento haber cometido algunos errores. Esto no es cierto, ni siquiera para curvas suaves. Por ejemplo $X$ sea una superficie general de Riemann con género al menos $3$ . Entonces no tiene automorfismo no trivial, pero existen funciones meromorfas, por tanto una cubierta ramificada $X\to Y$ . En particular, ${\rm Aut}(X/Y)$ es trivial. Sin embargo, el grupo monodrómico no es claramente trivial.

En general, dejemos que ${\rm Gal}(K(Y)/K(X))$ sea el grupo de automorfismo del cierre de Galois, entonces

$${\rm Aut_{rational}}(X/Y)\cong{\rm Aut}(K(X)/K(Y))$$ y $$G \cong {\rm Gal}(K(X)/K(Y)).$$

Para curvas suaves, ${\rm Aut}(X/Y)={\rm Aut_{rational}}(X/Y)$ . A continuación, una condición suficiente y necesaria para garantizar $G\cong {\rm Aut(X/Y)}$ es que la cobertura $X\to Y$ es Galois.