Si$p$ es primo, entonces$x^2 +5y^2 = p \iff p\equiv 1,9 $ mod$(20)$.

Question

Deje $p\neq 2,5$ ser primer. Quiero demostrar que: $x^2 +5y^2 = p \Leftrightarrow p\equiv 1,9 $ mod $(20)$.

Me demostró $\Rightarrow$ parte significa $x^2 +5y^2=p \Rightarrow p\equiv 1,9 $ mod $(20)$.

Para $\Leftarrow$ , $p\equiv 1,9(20) \Rightarrow p\equiv 1(4)$ , $p\equiv1 ,4 (5)$ lo $(\frac{4}{p})=1,(\frac{-1}{p}) =1$ (uso de símbolos de legendre) , también se $(\frac{5}{p})=_{p\equiv1(4)}(\frac{p}{5})$ e $p\equiv1(5)$ lo $(\frac{5}{p})=1$ , lo $(\frac{-20}{p})=(\frac{5}{p})(\frac{4}{p})(\frac{-1}{p}) = 1$. Por lo $-20$ es una ecuación cuadrática de residuos de mod $p$.

Sin embargo, yo no lo logras a ir a partir de este punto (ni siquiera sé si es posible hacerlo).

Answer 1

Una solución alternativa: el número de la clase de $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ es $2$, su Hilbert campo de la clase de es $L=\mathbb{Q}(\sqrt{-5},\sqrt{-1})$. Un primer $p\neq 2,5$ puede ser escrito como $p=x^2+5y^2$, iff $p$ se divide en dos principales primer ideales en $K$, iff $p$ se divide completamente en $L$, iff $p$ se divide en tanto $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ e $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$, iff $$\left(\frac{-1}{p}\right) = 1 \qquad \left(\frac{5}{p}\right)= \left(\frac{p}{5}\right) = 1$$ lo que sucede iff $p\equiv 1,9 \pmod{20}$.

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La solución con la reducción de los binarios de forma cuadrática trabaja aquí, porque cuando $D=-20$ sólo hay una forma de $x^2+5y^2$ en el género principal. Esto también sucede con algunas otras pequeñas $|D|$.

Answer 2

Deje $p\equiv1$ o $9\pmod{20}$. A continuación, $-5$ es un residuo cuadrático módulo $p$, así que hay enteros $r$ e $s$ con $$r^2+ps=-5.$$ Esto significa que el entero de una forma cuadrática $$f(X,Y)=pX^2+2rXY+sY^2$$ ha discriminante $-20$ y también es positiva definida. A continuación, $p$ está representado por $f$. Ahora $f$ es equivalente a una forma reducida. Allí son dos formas reducidas de discriminante $-20$: $g_1(X,Y)=X^2+5Y^2$ y $g_2(X,Y)=2X^2+2XY+3Y^2$. Pero $g_2$ no puede representar cualquier número congruente a $1$ o $9$ modulo $20$. Por lo tanto, $g_1$ representa a $p$.