Intuición de cohomology del grupo

Question

Grupo cohomology es una cosa que no me parece para conseguir mi cabeza alrededor.

Comprendo $H^0$ como los "puntos fijos", pero cuando se trata de nada más que no tengo idea de lo que los conceptos están destinados a ser captura...si nada.

Por ejemplo, puedo ver que 1-cocycles son homomorphisms con una propiedad específica, sino que la propiedad no parece significar nada para mí...y creo que debería!

Hay una intuición o un ejemplo que explica el significado o es sólo algo que "atascado" y parece que funciona en un montón de lugares?

Answer 1

[A Mariano de la sugerencia, voy a copiar mi respuesta de MathOverflow.]

Aquí es completamente un ejemplo elemental que muestra que el grupo de cohomology no está vacía verborrea, pero puede resolver un problema ("parametrización de racional círculo"), cuya declaración no tiene nada que ver con cohomology.

Supongamos que de alguna manera sabe que, para una finita de Galois de la extensión de $k\subset K$ grupo $G$ el primer cohomology grupo $H^1(G,K^*)$ cero : este es el homológica versión del Teorema de Hilbert 90 ( puedes mirarlo en Weibel, el libro de álgebra homológica, páginas ph 175-176).

Si por otra parte $G $ es cíclico con generador de $s$, esto implica que un elemento de $K$ tiene una norma si y sólo si puede ser escrito $\frac{a}{s(a)}$ algunos $a\in K$.

Considere ahora el cuadrática extensión de $k=\mathbb Q \subset K=\mathbb Q(i)$ con generador de $s$ $Gal(\mathbb Q (i)/\mathbb Q)$ el complejo de la conjugación.La declaración anterior, dice que el $x+iy\in \mathbb Q(i)$ satisface $x^2+y^2=1$ fib $x+iy=\frac{u+iv}{s(u+iv)}=\frac{u+iv}{u-iv}=\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}+i\frac{2uv}{u^2+v^2}$ algunos $u+iv\in \mathbb Q (i)$ .

Así que la hemos obtenido a partir del grupo de cohomology el conocido parametrización de los puntos racionales de la unidad de círculo $x^2+y^2=1$ $$x=\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}, \quad y=\frac{2uv}{u^2+v^2}$$

Answer 2

Grupo cohomology puede ser definido de forma muy natural en un puramente topológico. La definición de $1$-cocycles no es al azar, o debido a un accidente histórico.

Más concretamente, dado un grupo, $G$, el Eilenberg-Maclane espacio de $X=K(G,1)$ está definido que ha $\pi_1(X)=G$, e $\pi_{\geq 2}(X)=0$. Esto está bien definido hasta homotopy tipo si se supone que es un CW-complejo. Desde el cohomology functor es invariante bajo homotopy equivalencia de los grupos $H^i(X)$ están bien definidos abelian grupos asociados con el grupo original $G$, y esto es lo que llamamos grupo cohomology. Ahora, cuando usted toma con coeficientes en un $\mathbb Z[G]$ módulo de $M$, esto es en realidad equivalente a la cohomology con `twisted coeficientes" de $K(G,1)$.

Answer 3

Para agregar a George de la respuesta anterior, 1 de Galois cohomology grupo tiene una interpretación natural como el conjunto de clases de los principales espacios homogéneos para un grupo.

Deje $G$ ser una expresión algebraica de grupo definido a lo largo del $k$. Deje $K/k$ ser una extensión de Galois. El $K$-puntos de $G$ formulario $\mathrm{Gal}(K/k)$-grupo (o $\mathrm{Gal}(K/k)$-módulo, si $G$ es conmutativa). Un director homogénea $K$-el espacio es una $K$-variedad de $X$, con una libre acción transitiva de $G$. Hay un bijective correspondencia entre el $k$-clases de isomorfismo de los principales homogénea $K$-espacios y cocycles de $H^1(\mathrm{Gal}(K/k), G(K))$.

Deje $X$ ser una p.h.s. Elegir un punto de $x \in X$ y de actuar sobre ella por $\sigma \in \mathrm{Gal}(K/k)$. Desde $G$ actúa en $X$ libremente y transitivamente hay un único, $g_\sigma$ tal que $g_\sigma \cdot x = \sigma(x)$. Se verifica que $\sigma \mapsto g_\sigma$ definir un 1-cocycle.

Por el contrario, dado un 1-cocyle $\{g_\sigma\}$, considere la posibilidad de un discontinuo de la unión de $\sqcup G \times \{\sigma\}_{\sigma \in \mathrm{Gal}(K/k)}$ y definir una acción de $\mathrm{Gal}(K/k)$: $\sigma(x,\tau)=(g_\sigma \cdot x, \sigma\tau)$. Hay una natural $G$ acción en la inconexión de la unión, y el factor por la acción $\mathrm{Gal}(K/k)$ hereda la acción de la $G$ (un culta término para lo que está sucediendo es "Galois descenso"), convirtiéndola en una p.h.s.

Por otra parte, si $G$ es conmutativa, el grupo la ley en $H^1(\mathrm{Gal}(K/k), G(K))$ natural interpretación geométrica en términos de los principales espacios homogéneos. Este grupo también es conocido como Weil-Chatelet grupo. Recomiendo la original Weil artículo sobre el tema: A. Weil, "On algebraica de los grupos y espacios homogéneos". Amer. J. Math. , 77 (1955) pp 493-512