Geodésica en el catenoide

Question

Considere el catenoide $\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \cosh z = \sqrt{x^2+y^2}\}$, dado con la parametrización $$ r(u,v) = (\cosh u \cos v, \cosh u \sin v, u) \ \ . $$

Estoy tratando de demostrar que si $\gamma(t) = r(u(t),v(t))$ es una curva geodésica, tal que $\gamma$ está acotada (para todo $t\in\mathbb{R}$), entonces la imagen de $\gamma$ es el círculo $\{x^2 + y^2 =1, z=0\}$.

Por la relación de Clairaut, parece que $\gamma$ es geodésica si y solo si se cumplen las siguientes condiciones: $$ \cosh(u)^2 \dot v \equiv c\\ \cosh(u)^2 (\dot u^2 + \dot v^2) \equiv 1 \ \ , $$ donde $c$ es constante, y $u,v$ se entienden como funciones de $t$. La primera ecuación viene de la relación de Clairaut, y la segunda viene de la primera forma fundamental.

Sin embargo, después de intentar todo tipo de manipulaciones algebraicas, no encontré una manera de demostrar que si $\gamma$ no es el círculo mencionado, entonces es ilimitado. Agradecería cualquier pista.

Answer 1

Su segunda ecuación no es correcta. Si asume una parametrización de longitud de arco por $t$, entonces la segunda ecuación debería ser $\dot u^2 + \cosh^2u\,\dot v^2 = 1$, ¿verdad? Entonces tenemos $$\frac{dv}{du} = \frac{\dot v}{\dot u} = \frac c{\cosh u\sqrt{\cosh^2u-c^2}},$$ y así $$v = c \int \frac{du}{\cosh u\sqrt{\cosh^2 u-c^2}} + c'$$ para algunas constantes $c$ y $c'$. Esta formulación es buena para comprender cómo la geodésica se enrosca alrededor.

Primera cosa a entender: ¿Qué valor de $c$ da como resultado el círculo de la correa?

Próxima cosa a entender: ¿Hay alguna forma en la que tal integral diverja mientras $u$ se mantiene acotado? ¿Cómo puede una geodésica encontrarse tangencialmente con un círculo paralelo? Realmente es mejor pensar en Clairaut geométricamente: La expresión $\cosh^2 u\,\dot v = c$ te dice que el radio del círculo paralelo multiplicado por el coseno del ángulo entre la geodésica y el paralelo debe mantenerse constante.

Answer 2

El papel del radio inicial (tomado como condición de contorno en la solución de la ODE) es importante. Si el radio constante de Clairaut c es exactamente igual al radio inicial, entonces la geodésica gira alrededor del círculo geodésico unitario indefinidamente. Es solo un caso especial.

Si el radio inicial es mayor que c (pendiente cero, la tangente es paralela al eje z al principio) la geodésica roja se aleja hacia el infinito en ambas direcciones, el ángulo inicial siendo $\sin^{-1}\left(\dfrac{c}{r_{inicio}}\right)$.

Si el radio inicial es menor que c, entonces no hay geodésica real.