Un amigo y yo hablamos recientemente de este problema:
Digamos que mi amigo se siente un poco aventurero y me dice que exactamente tres de los cuatro dígitos de su código PIN son iguales, ¿cuál es la probabilidad de que lo adivine en tres intentos?
Al principio pensé que esto no debería ser muy difícil de contar, pero la restricción de dígitos me desconcertó. Esencialmente quiero contar cuántos códigos PIN posibles hay con la restricción de que $3$ de $4$ los dígitos son los mismos. Intenté pensar en términos de usar sumas, pero me quedé atascado. Acabé haciendo un rápido MATLAB-script que calculaba el número de posibles códigos PIN utilizando un método de fuerza bruta. Asumiendo que mi script es correcto hay $360$ códigos que acatan esta restricción de un total de $10^4=10\hspace{4 px}000$ posibles códigos PIN. Utilizando esto es fácil calcular el resto, pero ahora me pregunto cómo se podría hacer esto de una manera más elegante.
Un código PIN es un $4$ -número de dígitos donde los posibles dígitos son $0,1,2,...,9$ . Así que para mi pregunta dos ejemplos de posibles códigos son $3383$ y $2999$ . Supongamos que no hay más restricciones, aunque en realidad es probable que las haya, y que cada dígito es igualmente probable. Es importante señalar que no sé si es $0,1,...,8$ o $9$ que aparece tres veces.
Esta pregunta no es una tarea ni nada por el estilo, es realmente por curiosidad. ¡Gracias por cualquier ayuda!
(Por cierto, he visto esta pregunta: Problema de combinatoria y probabilidad pero no me ayudó). EDIT: He cometido un error en mi script. Actualizado.
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Pregunta relacionada: math.stackexchange.com/q/357296/3301
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Y como (respuestas abajo), el número de posibilidades es igual a 360, la probabilidad de que lo adivine en tres intentos es igual a $1-(1-1/360)^3 0.83%$ (suponiendo que se adivine al azar. Pero si aprendes de tus errores y no intentas una combinación dos veces, el real la respuesta se convierte en $1-(\frac{359 \times 358 \times 357}{360^{3}}) 0.98%$ .
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@AnonymousPi en realidad respondió a la pregunta, los demás sólo te dijeron cuántas opciones había. Mi respuesta sería "escasa o nula" :)
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Edición: Por $0.83$ y $0.98$ Quise decir $0.83$ % y $0.98$ %. Los "%" no se muestran en LaTeX.
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Si pruebas tres PINs diferentes, la probabilidad de que aciertes es simplemente de 3/360.
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Sólo quería señalar que el comentario anterior de @AnonymousPi parece incorrecto: Si se aprende de los errores debería ser $1 - (\frac{359 \cdot 358 \cdot 357}{360 \cdot 359 \cdot 358})$