¿Qué es un proceso estacionario de segundo orden?

Question

Me preguntaba cómo se define su "proceso estacionario de segundo orden" en la obra de Brockwell y Davis Introducción a Series Temporales y Pronósticos:

La clase de modelos lineales de series temporales, que incluye la clase de modelos autorregresivos de media móvil (ARMA), proporciona un marco general para estudiar procesos estacionarios. De hecho, cada proceso estacionario de segundo orden es o bien un proceso lineal o puede transformarse en un proceso lineal restando un componente determinístico. Este resultado se conoce como la descomposición de Wold y se discute en la Sección 2.6.

En Wikipedia,

El caso de estacionariedad de segundo orden surge cuando los requisitos de estacionariedad estricta se aplican solo a pares de variables aleatorias de la serie temporal.

Pero creo que el libro tiene una definición diferente a la de Wikipedia, porque el libro usa estacionariedad como abreviatura de estacionariedad de sentido amplio, mientras que Wikipedia usa estacionariedad como abreviatura de estacionariedad estricta.

¡Gracias y saludos!

Answer 1

Puede haber cierta confusión de términos aquí dependiendo de si el adjetivo de segundo orden se considera que está modificando el proceso estacionario o el proceso aleatorio (¡o ambos!). Para algunas personas,

• Un proceso aleatorio de segundo orden $\{X_t \colon t \in \mathbb T\}$ es aquel para el cual $E[X_t^2]$ es finito (de hecho, acotado) para todo $t \in \mathbb T. Para nosotros los ingenieros eléctricos que aplicamos (o mal aplicamos!) modelos de procesos aleatorios en el estudio de señales eléctricas, $E[X_t^2]$ es una medida de la potencia promedio entregada en el tiempo $t$ por una señal estocástica, y así todas las señales físicamente observables son modeladas como procesos de segundo orden. Es importante señalar que la estacionariedad no ha sido mencionada en absoluto y estos procesos de segundo orden podrían o no ser estacionarios.

• Un proceso aleatorio que es estacionario de orden $2$, al cual pero quizás no deberíamos) llamar un proceso aleatorio estacionario de segundo orden siempre y cuando acordemos que de segundo orden modifica estacionario y no el proceso aleatorio, es aquel para el cual $\mathbb T$ es un conjunto de números reales que es cerrado bajo adición, y la distribución conjunta de las variables aleatorias $X_t$ y $X_{t+\tau}$ (donde $t, \tau \in \mathbb T)$ depende de $\tau$ pero no de $t. Como muestra el enlace proporcionado por AO, un proceso aleatorio estacionario de orden $2$ no necesita ser estrictamente estacionario. Tampoco necesariamente es estacionario en sentido amplio porque no hay garantía de que $E[X_t^2]$ sea finito: considera por ejemplo un proceso estrictamente estacionario en el que los $X_t$ son variables aleatorias de Cauchy independientes.

• Un proceso aleatorio de segundo orden (significando potencia finita como en el primer ítem mencionado) que es estacionario al menos de orden $2$ es estacionario en sentido amplio.

OK, esa es la perspectiva desde un conjunto diferente de usuarios de la teoría de procesos aleatorios. Para más detalles, ver, por ejemplo, esta respuesta mía en dsp.SE.

Answer 2

(Esto debería ser un comentario ya que no voy a resolver el problema, pero se hizo demasiado largo)

Una vez que te das cuenta de que el primer término domina, todo se reduce a estimar 50!. Ahora es cuando se utiliza la psicología de las pruebas. Las opciones 3 y 4 están muy juntas. Necesitarías una buena estimación para distinguirlas. Concluye provisionalmente que probablemente no sea ninguna de las dos.

Eso deja las opciones 1 y 2. Se diferencian por un factor de 10, por lo que se puede ser bastante descuidado y todavía distinguir entre ellos. En realidad, no se tardaría demasiado en seguir adelante y multiplicar. Si aprovechas la factorización primaria de los términos, la mayoría de las multiplicaciones serán de un solo dígito, lo que puedes hacer en tu cabeza y simplemente escribir el resultado.

Alguien más inteligente que yo probablemente podría organizar primero 2, 3, ..., 50 en grupos u organizar sus factores en grupos que se multipliquen en números particularmente fáciles de trabajar (por ejemplo, emparejar grupos de 2 y 5 para trabajar) o para mantener los límites de error razonables, pero yo simplemente iría por la fuerza bruta.

Answer 3

Segundo orden estacionario es un estacionario débil o estacionario por covarianza. Consulte el siguiente fragmento de Análisis de Series Temporales, J. Hamilton (1994) p. 108

Answer 4

Estoy suponiendo que es lo mismo que "estacionario débilmente". Eso significa que $(x_k,\dots,x_{k-l})$ todos (para todo $k$, y cualquiera $l)$ tienen la misma esperanza y matriz de covarianza pero no necesariamente la misma distribución.