Estoy tratando de resolver un problema en armónica de funciones en Rudin del libro(Reales y Complejos análisis de la 3ª edición)
Para aclarar el problema que quiero preguntar, tenemos algunas notaciones:
(1) $U$ es la de abrir la unidad de disco y $T$ es el círculo unidad, el límite de $U$ en el plano complejo
(2) $P(z,e^{it})$ es el Núcleo de Poisson. $$P(z,e^{it})=\frac{1-|z|^2}{|e^{it}-z|^2}$$ for $z\U$, $e^{que}\T$
(3)$P[f]$ es la Integral de Poisson en contra de $f\in L^1(T)$
(4)$P[d\mu]$ es la Integral de Poisson en contra de un complejo medida en $T$, definido por $$P[d\mu](z)=\int_T P(z,e^{it})d\mu(e^{it})\quad (z\in U)$$
(5)$C(T)$ es el espacio que consta de todo el complejo continuo de las funciones de $T$
(6)Podemos asociar a una función de $u$ $U$ una familia de funciones de $u_r$$T$, definido por $$u_r(e^{it})=u(re^{it})\quad(0\leq r<1)$$
(7)La medida de $\sigma$ está definido por $\sigma=m/2\pi$ donde $m$ es ordinaria de la medida de Lebesgue en $T$
(8)$||u_r||_1$ está definido por $$||u_r||_1=\int_T |u_r|d\sigma\quad(0\leq r<1)$$
El problema es:
Supongamos $u$ es armónica en $U$, e $\{u_r:0\leq r<1\}$ es uniformemente integrable subconjunto de $L^1(T)$. Modificar la prueba del Teorema de 11.30 a mostrar que $u=P[f]$ algunos $f\in L^1(T)$.
Antes de indicar el Teorema de las 11.30 horas, uno necesita teorema de 11.29.
Teorema de 11.29: Supongamos que (a)$X$ es separable espacio de Banach, (b)${\Lambda_n}$ es una secuencia lineal funcionales en $X$, (c)$sup_n||\Lambda_n||=M<\infty$
Luego hay una larga $\{\Lambda_{n_i}\}$ de manera tal que el límite $$\Lambda x=\lim_{i\to\infty}\Lambda_{n_i} x$$ exists for every $x\in X$. Moreover, $\Lambda$ is linear, and $||\Lambda||\leq M$
Prueba (Boceto): tenga en cuenta que $\{\Lambda_n\}$ es pointwise delimitada y equicontinuous. Desde cada punto de $X$ es un conjunto compacto, el Teorema de 11.29 sigue de Arzela-Ascoli Teorema. Además, es obvio que $||\Lambda||\leq M$ y $\Lambda$ es lineal.
Teorema de 11.30: Supongamos $u$ es armónica en $U$, y $$sup_{0<r<1} ||u_r||_1=M<\infty$$ It follows that there is a unique complex Borel measure $\mu$ on $T$ so that $u=P[d\mu]$
Prueba: Definir lineal funcionales $\Lambda_r$ $C(T)$ por $$\Lambda_r g=\int_T gu_rd\sigma\quad (0\leq r<1)$$ Therefore, $||\Lambda_r||\leq M$. By Theorem 11.29 and Riesz representation theorem for the dual of $C(T)$ there is a measure $\mu$ on $T$, with $||\mu$$||\leq M$, y una secuencia $r_j\to 1$, por lo que $$\lim_{j\to\infty}\int_T gu_{r_j}d\sigma=\int_T gd\mu\quad (*)$$ for every $g\in C(T)$.
Poner $h_j(z)=u(r_j z)$. A continuación, $h_j$ es armónica en $U$, continua en $\bar{U}$, y es por lo tanto la integral de Poisson de su restricción a $T$. Fix $z\in U$, y se aplican $(*)$ con $$g(e^{it})=P(z,e^{it})$$ Since $h_j(e^{es})=u_{r_j} e^{})$, we obtain $$u(z)=\lim_j u(r_j z)=\lim_j h_j(z)$$, and $$\lim_j h_j(z)=\lim_j\int_T P(z,e^{it})h_j(e^{it})d\sigma(e^{it})=\int_T P(z,e^{it})d\mu(e^{it})=P[d\mu](z)$$
Para probar la unicidad, es suficiente para mostrar que $P[d\mu]=0$ implica $\mu=0$.
Pick $f\in C(T)$, poner $u=P[f]$, $v=p[d\mu]$. Por el teorema de Fubini, y la simetría $P(re^{i\theta},e^{it})=P(re^{it},e^{i\theta})$, $$\int_T u_rd\mu=\int_T v_rfd\sigma\quad (0\leq r<1)$$ When $v=0$ then $v_r=0$, and since $u_r\a f$ uniformly, as $r\a 1$, we conclude that $$\int_T fd\mu=0$$ for every $f\in C(T)$ if $P[d\mu]=0$. By Riesz representation theorem, $\mu=0$.
Todas las sugerencias serán apreciados. Realmente he ni idea de cómo modificar la prueba de Themorem las 11.30 horas, debido a que el $L^1$-acotamiento de la familia $\{u_r\}$ seemes a jugar un papel importante en la prueba. Sin embargo, no veo la relación entre el acotamiento y uniforme de integrabilidad. He goolged este problema, pero no puedo encontrar nada útil.
De nuevo, todas las sugerencias serán apreciados.
