Cardinalidad y conjuntos infinitos: naturales, enteros, racionales, bijetiones.

Question

Tengo un montón de preguntas.

• ¿Los conjuntos Infinitos tienen la misma cardinalidad cuando hay una bijección entre ellos?

• ¿Son$\mathbb{N}$ y$\mathbb{Z}$ conjuntos infinitos? Supongo que son, pero ¿por qué? ¿Por qué no existe una bijección entre ellos?

• ¿Por qué$\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ tiene la misma cardinalidad? Asumo que existe una bijección entre ellos, pero ¿cómo puedo encontrar esta función?

Answer 1

Vamos a definir lo que la cardinalidad es.

$A\preceq B$ si y sólo si existe una inyección de$A$$B$.

1. La identidad de la muestra que $A\preceq A$, por lo tanto, esta es una relación reflexiva
2. Supongamos $A\preceq B$ $B\preceq C$ hay inyecciones $f\colon A\to B$$g\colon B\to C$. Componentes de los rendimientos de una inyección de$A$$C$, lo que demuestra la transitividad.

Este es un cuasi-orden, ya que no es anti-simétrica. Sin embargo ahora podemos tomar la relación de equivalencia:

$$A\sim B\iff A\preceq B\ \text{and}\ B\preceq A$$

El Cantor-Bernstein teorema nos dice que $\sim$ es exactamente la relación se define como el $A\sim B$ si y sólo si existe un bijection entre el$A$$B$.

Ahora denotamos $|A|$ a ser la clase de equivalencia de a $A$ bajo $\sim$, si el axioma de elección se supone entonces podemos definir un canónica representante de esta clase de equivalencia, es decir, $\aleph$ números naturales y los números.

Esto debe responder bien a la primera pregunta. Sí, los dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si y sólo si existe un bijection entre ellos. Esto no es sólo para conjuntos infinitos, pero para finito de conjuntos así. Por ejemplo, $\{0,1,2\}$ tiene exactamente el mismo número de elementos como $\{2134,5786,x\}$.

Para la segunda pregunta, primero es necesario recordar que si usted no encuentra lo que no quiere decir que no existe. Una explícita bijection entre de $\mathbb N$ $\mathbb Z$puede ser determinado de la siguiente manera:

$$f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} &n=2k\\ \frac{-n-1}{2} &n=2k+1\end{cases}$$

En pocas palabras, podemos asignar los números impares como los números enteros negativos y los números como enteros positivos, el cero se mantiene como cero.

Para encontrar un mapa de $\mathbb N$ $\mathbb Q$explícitamente que uno tiene que trabajar más duro. En su lugar, podemos utilizar el hecho de que he utilizado al definir la cardinalidad. Es decir, mostrar que $\mathbb Q\preceq\mathbb N$$\mathbb N\preceq\mathbb Q$.

La identidad mapa muestra que el $\mathbb N\preceq\mathbb Q$, como puede ser tratada como subconjunto de los números racionales, y el mapa de identidad siempre es inyectiva.

En la otra dirección, deje $\frac{p}{q}\in\mathbb Q$ ser una fracción tal que:

1. $p$ $q$ son coprime por lo que la fracción es irreducible (que es $\frac{1}{3}$ es el elegido en lugar de $\frac{2}{6}$)
2. $q>0$ $p\in\mathbb Z$ (por lo $\frac{-1}{3}$ está ocupada y no $\frac{1}{-3}$)

Ahora tenemos un mapa $\frac{p}{q}$ a el entero positivo $2^p\cdot 3^q$. Utilizando el teorema fundamental de la aritmética de este mapa de hecho es inyectiva. Es bastante claro que está lejos de ser bijective aunque, desde la $5$ no está en el rango.

Sin embargo, esto muestra que $\mathbb Q\preceq\mathbb N$, que es lo que necesitamos para ejecutar el Cantor-Bernstein y teorema de tener un bijection entre los dos.

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Añadido: probablemente debería agregar la definición de un conjunto infinito, que es menos trivial de lo que uno piensa.

Un conjunto es finito si por alguna $n\in\mathbb N$ hay un bijection entre el conjunto y $\{0,\ldots,n-1\}$.

Tenemos que un conjunto es infinito si y sólo si no es finito, y en el caso de los números naturales se puede demostrar fácilmente que no hay ningún conjunto finito cuya cardinalidad es el mismo.