¿Cómo estimar las incertidumbres de medición que pueden utilizarse en el método de "adición en cuadratura"?

Question

Por ejemplo, si mido la longitud con una vara de medir con la unidad más pequeña de 1 mm, ¿puedo utilizar la incertidumbre de 0,5 mm en esta fórmula? $$\Delta C = \sqrt{\left(\frac{\partial C}{\partial x_1}\Delta x_1\right)^2 + \left(\frac{\partial C}{\partial x_2}\Delta x_2\right)^2 + \hspace{0.3cm}...}$$ La razón por la que lo pregunto es que, según tengo entendido, las incertidumbres utilizadas en la fórmula llevan consigo un carácter probabilístico. Supongamos que las mediciones se distribuyen normalmente, entonces $\Delta x_1,\Delta x_2,...$ puede considerarse como una desviación estándar de la media, lo que da el rango en el que puede caer el valor real el 68% de las veces. En cambio, los 0,5 mm estimados son el máximo error que podemos tener (el valor verdadero cae en este rango el 100% de las veces). Entonces, ¿cómo puedo encajar esta incertidumbre de 0,5mm en esta fórmula? Supongamos que utilizo 0,5 mm directamente en la fórmula, ¿cuál será el resultado ( $\Delta C$ ) significa? Dudo que pueda considerarse como el máximo error posible o como una desviación estándar de la media

Answer 1

El marco moderno para la evaluación de la incertidumbre de medición viene dado por una serie de guías preparadas por los Comités Conjuntos de Guías en Metrología (JCGM) que pueden encontrarse en el Página web del BIPM .

La idea es que un mensurando es modelado por una variable aleatoria (incluso en el caso de una sola medición), y un valor de la cantidad medida $x$ se considera así como una realización de una variable aleatoria $X$ . El resultado de una medición debe representar la información disponible sobre la variable aleatoria asociada a un mensurando, ya sea como una función de densidad de probabilidad o, más sucintamente, como un valor representativo (por ejemplo, la media o la mediana) y una medida de incertidumbre (dispersión) como la desviación estándar. Juicio científico y estadísticas (clásico o bayesiano) ofrecen técnicas para asignar probabilidades a los eventos y propiedades a las variables aleatorias.

Cuando la dispersión de una variable aleatoria $X$ se expresa como una desviación estándar, se llama incertidumbre estándar y se denota por $u(x)$ .

En el caso de una medición indirecta modelada por un función de medición del tipo $Y=f(X_1,\ldots,X_n)$ el ley de propagación de la incertidumbre para cantidades de entrada no correlacionadas $X_1,\ldots,X_n$ viene dada por

$$u(y) = \sqrt{\sum_{k=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial x_k}\right)^2u^2(x_k)}.$$

Las ecuaciones anteriores se basan únicamente en dos supuestos: i) que las cantidades de entrada $X_1,\ldots,X_n$ no estén correlacionadas (también existe una fórmula más general para las cantidades correlacionadas); ii) que la dispersión de las cantidades de entrada sea lo suficientemente pequeña como para que la función $f$ puede aproximarse como una serie de Taylor de primer orden (existen métodos para la propagación de la incertidumbre cuando falla la suposición de linealidad). No es necesario suponer una distribución gaussiana. La ecuación anterior debe utilizarse tanto si la incertidumbre de las magnitudes de entrada se ha evaluado a partir de estadísticas sobre mediciones repetidas como a partir de un juicio científico sobre una única medición.

En este marco, se puede asignar una distribución de probabilidad a la medición de una regla utilizando el juicio científico. En el lenguaje de la metrología esto se llama Evaluación de la incertidumbre de tipo B .

Supongamos que tenemos una regla con marcas separadas por 1 mm. Si me dice que ha medido una longitud de, por ejemplo, 100 mm, puedo pensar: dadas las marcas, si la longitud fuera mayor de 100,5 mm, habría dicho 101 mm; por el contrario, si la longitud fuera menor de 99,5 mm, habría dicho 99 mm. Sin más información, puedo modelar la longitud $l$ como variable aleatoria $L$ con uniforme distribución entre 99,5 mm y 100,5 mm, con la mitad condh $\delta l=0.5\,\mathrm{mm}$ . La incertidumbre estándar sería entonces (véase §4.3.7 de la GUM )

$$u(l) = \frac{\delta l}{\sqrt{3}} \approx \frac{0.5\,\mathrm{mm}}{\sqrt{3}}\approx 0.3\,\mathrm{mm}$$

Sin embargo, también puedo pensar de forma más refinada: Si la longitud es de 100,5 mm, hay un 50% de probabilidades de que diga 100 mm y un 50% de probabilidades de que diga 101 mm, y al aumentar la longitud entre 100,5 mmm y 101 mm hay cada vez menos probabilidad de que diga 100 mm (lo mismo al pasar de 100 mm a 99). Por lo tanto, una mejor suposición para la distribución de probabilidad de $L$ sería la de una distribución triangular con media anchura $\delta l=1\,\mathrm{mm}$ . Con este supuesto, la evaluación de la incertidumbre arroja un resultado ligeramente superior. De hecho, a partir del documento GUM vinculado, figura 2(b), tenemos

$$u(l) = \frac{\delta l}{\sqrt{6}} \approx \frac{1\,\mathrm{mm}}{\sqrt{3}}\approx 0.4\,\mathrm{mm}$$

Answer 2

Parece una pregunta razonable. Tienes razón, la fórmula de adición de errores que citas supone incertidumbres independientes y la interpretación del resultado como un intervalo de confianza del 68% requiere que el $\Delta x_i$ en la fórmula son las desviaciones estándar de una distribución normal.

Esto funciona para cualquier factor de la sigma gaussiana. Si su error es realmente un error de 2 o 3 sigmas, entonces su error final combinado sería también un error de 2 o 3 sigmas - pero sólo si las incertidumbres estaban realmente distribuidas de forma normal. En este caso, es probable que no lo estén.

Por lo tanto, esto es lo que podrías hacer (i) Asumir que el error de 0,5 mm es en realidad una incertidumbre de 2 sigmas (95% de confianza) y dividirlo por 2 para estimar un error de 1 sigma y luego utilizar la fórmula estándar.

(ii) Adoptar un enfoque empírico. Si tiene varias cosas que medir, mida cada una de ellas $\geq 5$ veces y tomar la desviación estándar de su resultado. Utiliza esto como la incertidumbre de 1 sigma en la fórmula de error anterior.

Incluso lo anterior serán burdas aproximaciones. Por desgracia, la estimación de las incertidumbres no suele ser un proceso totalmente riguroso. Sólo hay que explicar e intentar justificar lo que se hace.