¿Cuál es la forma de una corriente de agua que sale de la tubería?

Question

Como se muestra en la fotografía de abajo, cuando el agua que sale de un tubo (que se encuentra en la superficie de la tierra) que viaja hacia abajo en forma de arco.

¿Cuál es la forma y el tamaño de este arco como una función de D, el diámetro interior de la tubería y, P, la presión del agua? Supongo que la forma es una parábola, o tal vez una catenaria. Asumir la tubería es horizontal y el agua sale del tubo perpendicular a la de la gravedad.

(Aunque un objeto lanzado tendrá una trayectoria parabólica, creo que no se puede asumir que una corriente de agua que va a ser necesariamente parabólica debido a que la corriente de agua tiene viscosidad.)

Answer 1

Primero vamos a examinar la forma inicial de inmediato cuando el agua sale de la tubería:

Inicialmente, la secuencia posee un bien definida por el radio de curvatura $R$, que se puede encontrar mediante la aplicación de Euler la ecuación de la normal a una línea de flujo:

$$ \frac{V^2}{R} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial n} - g\frac{\partial y}{\partial n}$$

donde $n$ es una coordenada radial normal a una línea de flujo en el chorro, se hace referencia desde el centro de curvatura.

Digamos que el diámetro de la tubería a $D$ es pequeña ($R>>D$), a continuación, $\frac{\partial P}{\partial n} \sim 0$ ya que no hay ninguna apreciable gradiente de presión a través de la streamtube.

También, $\frac{\partial y}{\partial n} = -1$ de inspeccionar el sistema de coordenadas.

Esto muestra que el radio de curvatura, justo cuando la corriente sale de la tubería, está dada por:

$$ R = \frac{V^2}{g} $$

Esto define un círculo dado por (buscar en el sistema de coordenadas):

$$x^2 + (R-y)^2= R^2$$

$$ x^2 + y^2 = 2Ry$$

Muy cerca del origen, $x^2>>y^2$, de modo que ignore $y^2$ y resolver para $y$:

$$ y = \frac{x^2}{2R} = g\frac{x^2}{2V^2}$$

donde $V$ es la velocidad de salida del chorro, y lo he sustituido nuestra expresión anterior $R$.

Este resultado tiene sentido; considerar la posibilidad de un jet con gran velocidad de salida y nota cómo vamos a obtener una parábola con una gran longitud focal, como se esperaba.

EDIT: ¿Cómo es la forma dependen de la presión P y el diámetro de la tubería D?

¿Cuál es la forma y el tamaño de este arco como una función de D, el interior de la diámetro de la tubería, y, P, la presión del agua?

Ambos $D$ e $P$ afectan a la velocidad de la $V$ en nuestra ecuación parabólica, sino la específica de la ecuación de $V=V(D,P)$ depende de lo que ocurre antes de la tubería de salida.

Para ver el efecto de $D$, usted podría utilizar de conservación de la masa $A_cV = constant$ dentro de la tubería donde $A_c$ es el área de la sección transversal de la tubería. Mayor $D$ será, por tanto, el rendimiento menor $V$ y viceversa.

Para ver el efecto de $P$, se debe aclarar lo que su sistema incluye antes de la tubería de salida. Por ejemplo, si la canalización es un pequeño agujero en un tanque, $V=\sqrt{2 g h}$ a través de Bernoulli la ecuación, donde $h$ es la distancia del agujero de la parte inferior. Se puede ver que una mayor presión hidrostática aumenta el $V$. Si nuestro tubo está conectado a una bomba de eficiencia $\eta$, con el poder de $\dot{W} = \eta Q \Delta P=\eta A_c V \Delta P$, se puede ver cómo la presión de las influencias $V$ nuevo. Por lo general, usted puede ver que una mayor presión en la tubería de salida resultará en grandes $V$, dando así a nuestros parábola una mayor distancia focal. Viceversa para los más pequeños de la presión.

La respuesta específica a cómo $V$ depende de $D$ e $P$ depende de lo que su sistema incluye antes de la tubería de salida.

Answer 2

Aún más simple. Voy a usar @Drew el sistema de coordenadas y símbolos.

Un elemento de masa sale de la boquilla a $t=0$, la velocidad de $V$.

Inmediatamente tiene dos componentes de la velocidad, $V_x$ e $V_y$, a partir de la cual las coordenadas en el tiempo puede ser calculado:

$$V_x=V \Rightarrow x=Vt$$ Y debido a la gravedad: $$V_y=gt \Rightarrow y=\frac12 gt^2$$ Extracto de $t$:

$$\Rightarrow t=\frac{x}{V}$$

Sustituto:

$$\Rightarrow y=g\frac{x^2}{2V^2}$$

Tenemos una parábola, como la de un horizontalmente disparó la bala (por ejemplo)

Ahora lo que si, como en el OP del caso, la boquilla no es horizontal, sino en un ángulo con la horizontal de $\theta$?

En ese caso se descomponen $V$ en sus componentes horizontal y vertical $V_x$ e $V_y$:

$$V_x=V\cos\theta$$ $$V_y=V\sin\theta +gt$$

A continuación, proceder como se indicó anteriormente.

Answer 3

Eres el último "abrazado" comentario es importante. Voy a intentar responder a esta cuestión cualitativa.

Supongamos que el agua se compone de microscópicos que no interactúan las partículas (aparte de las colisiones elásticas), dicen microscópicas partículas de arena. Todas estas partículas salen de la tubería con un promedio de velocidad horizontal va a seguir (en la media) una trayectoria parabólica hacia abajo. El mayor es el diámetro de la tubería más tiempo lleva a la parte del agua (modelado por las partículas) más cerca de la parte superior de la tubería para llegar a la tierra de la parte de el agua más cerca de la parte inferior. Esta es una constante, y aunque no tiene ninguna influencia en la forma de la caída de la masa de agua. Las partículas en la parte superior de la tubería siga la misma parábola como las partículas en el lado inferior de la tubería. Es fácil ver que esto se traduce en de la deformación inicial de la sección circular del agua al salir de la tubería, en una elipse forma de la sección transversal al golpear el suelo. Y porque las partículas que no interactúan, no hay fuerzas de marea por lo que el diámetro (eje largo) de la elipse en la tierra tiene el mismo valor que el diámetro del círculo inicial. De modo que la sección transversal de la viga no está disminuyendo, pero permanece en el mismo debido a que la densidad de las partículas disminuye (en contraste con agua real). Las partículas en el lado exterior de la masa de agua que se las arreglan para escapar, pero esto tiene un efecto insignificante. Así que, en este caso, la forma de la caída (partícula modelada) haz de agua es parabólico y la forma de la viga al llegar a la tierra es una elipse.

Ahora supongamos lo contrario: Supongamos que el agua se compone de partículas microscópicas que están enlazados entre sí por pequeñas cadenas. En este caso, también hay una media horizontal de la partícula, pero aparte de las colisiones (que no afectan a la media parabólico forma de la caída de la masa de agua), las partículas microscópicas todos los tire en cada una de la otra por medio de los pequeños manantiales, lo que significa que las fuerzas de marea de trabajo en la masa de agua que aparecen. Las partículas no se mueven más lejos de cada uno de los demás no se caen, así que no hay gotas serán formados. Debido a las fuerzas de marea, las partes más bajas de la masa de agua experimenta una fuerza hacia arriba y, en consecuencia, llegar a la planta más tarde que en el caso anterior y con la misma sección transversal y la velocidad inicial de la sección transversal y la velocidad. Es como el disparo de una larga cadena de bicicleta en dirección horizontal por dejar que se salga de un grande, en constante rotación, equipo de la cuchilla en la dirección horizontal de un edificio alto. Es obvio que la forma de la segunda clase de agua que sale horizontalmente a partir de una tubería no tiene la forma de una parábola (al igual que la forma de la cadena de tomar de forma horizontal después de que se cae al suelo).

Así que las fuerzas de marea que, en su caso, de un real de caída de la masa de agua están presentes, debido a que el agua de la viscosidad. A pesar de que el número de Reynolds del agua es muy alta la forma es casi parabólico, es decir, no parabólico. La sección transversal se hace más pequeño cuando la viga está más cerca del piso (la densidad del agua no cambia), pero tiene una mínima forma de elipse. También, debido a las fuerzas de marea, la velocidad a la que el suelo es un poco más pequeño de lo que sería el caso si no hubiera fuerzas de marea (o en otras palabras, la viscosidad).

Y un segundo efecto entra en juego. A una cierta velocidad, el flujo laminar del agua se convierte en turbulento debido a su viscosidad, lo que permite que la forma de la caída del agua de la tubería, lo que hará que la forma de la caída de agua se desvían (debido a las fricciones internas en el agua), un poco más de un parabole.

Así que el es casi un parabole, es decir, la forma es no un parabole, aunque la forma exacta que yo no te puedo decir. En el caso de la cadena, que podría ser una catenaria. Un simple experimento para ver que un fluido con un bajo número de Reynolds no crear una parabólica forma, cuando se lanza un haz de las cosas vertical es hacer que un rayo de miel (bajo número de Reynolds) y una manga de agua (alto número de Reynolds) salen por el mismo tipo de tubería horizontal con la misma velocidad y comparar las dos manchas en el suelo (antes de que el líquido con el alto número de Reynolds se rompe) donde llegan. El "más" parabólico (alto número de Reynolds), el mayor de los haces llegar en el suelo (medido como la distancia horizontal entre el tubo de salida y el impacto en el lugar en el piso). Será más difícil para comparar el final de las secciones transversales de la viga.