Los subconjuntos densos contables de$\mathbb R$ son homeomorfos

Question

Supongamos que los subconjuntos contables$A,B$ de la línea real$\mathbb R$ satisfacen$\overline{A}=\overline{B}=\Bbb R$.

¿Cómo se puede mostrar que$A$ es homeomorfo a$B$?

Incluso no tengo idea de cómo obtener una bijección entre$A$ y$B$.

Answer 1

Básicamente, usted puede construir un homeomorphism con la mano. Un bijection automáticamente existe, ya que los conjuntos son tanto contables, pero usted necesita para construir en un bijection que es continua con inversa continua. Para ello, observar o probar lo siguiente:

• Un bijection $f$ entre la densa subconjuntos $A$ $B$ será un homeomorphism si se conserva el orden, es decir, si $a<b$ implica $f(a) < f(b)$.

Por lo tanto, usted necesita para construir su bijection cuidadosamente, definiendo $f$ un elemento en un tiempo, con el fin de asegurarse de que conserva el orden. Tus decisiones tienen que ser compatibles con el número finito de elecciones anteriores. El siguiente hecho es la razón por la que usted desee $A$ $B$ a ser denso:

• Si un conjunto $A$ es denso en $\mathbb{R}$, e $x<y$ son elementos de $A$, entonces no existe $z\in A$ tal que $x<z<y$.

Usted también necesita ser complicado para asegurarse de que su mapa es bijective, ya que si usted acaba de definir $f$, teniendo una enumeración de $A = \{a_0, a_1, \ldots\}$ y definen $f$ en cada una de las $a_i$, entonces usted tendrá que asegurarse de que cada elemento de a $B$ se encuentra en la imagen de $f$. Esto significa que usted va a hacer malabares con las siguientes tareas de forma simultánea, mientras que la definición de $f$ inductivamente:

1. Asegurarse de que $f$ se define para cada una de las $a\in A$
2. Asegurarse de $f$ contiene todos los elementos de a $B$ en su imagen
3. Asegurarse de que $f$ conserva el fin de

Voy a salir de allí, ya que este es de esperar que suficiente para empezar.

Answer 2

Para la parte biyectiva tenga en cuenta que:

Como$A$ es contable, tenemos un mapeo biyectivo de$A$ a$\mathbb N$, es decir, podemos enumerar los elementos de$A$ como$\{a_1,a_2,a_3,....a_n . ...\}$

De manera similar, podemos enumerar los elementos de$B$ como$\{b_1,b_2,...b_n...\}$

Por lo tanto, la asignación se realiza como$a_1\rightarrow b_1;a_2\rightarrow b_2;....;a_n\rightarrow b_n...$, etc.