Mostrar que una matriz tiene determinante positivo.

Question

Deje que$A$ sea una matriz$n\times n$, donde$a_{ii}>0$ y$a_{ij}\le 0$ para$1\le i\ne j\le n$ y también$\sum_{i = 1}^n a_{ij}>0$, muestren que$\det(A)>0$.

Intento usar el hecho de que$$\left(\sum_{i = 1}^n a_{i1}e_i\right)\wedge\cdots\wedge \left(\sum_{i = 1}^n a_{in}e_i\right)= A_1\wedge \cdots \wedge A_n = Ae_1\wedge \cdots\wedge Ae_n $ $

PS

pero no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

No es difícil ver que $a_{jj}>\sum_{i=1, i \neq j} |a_{ij}|$, $A$ es estrictamente diagonal dominante (en realidad, $A^t$ es estrictamente diagonal dominante, pero no hay ningún problema aquí desde $\det{A}=\det{A^t}$.

Por lo tanto, que:

• los autovalores de la estrictamente dominante matrices tienen parte real positiva si todas las entradas de la diagonal son positivos (véase el Teorema de 6.1.10 de Cuerno y Johnson, por ejemplo);
• si $z \in \mathbb{C}$ es un autovalor de a $A$, entonces su conjugado $\bar{z}$ también es un autovalor, desde el particular polinomio de $A$ tiene coeficientes reales;
• $\det{A}$ es el producto de los valores propios de a $A$.

el resultado ganancias fácilmente.

Answer 2

Así que aquí está la prueba (no es mío, me acordé de que había visto en uno de mis libros de texto y yo estaba a la derecha). La prueba se supone que la desigualdad verdadera para las filas en lugar de las columnas, pero no cambia mucho las cosas. Es fácil ver que $$|a_{ii}|\gt\sum_{j=1,j\ne i}^{n}|a_{ij}|,~~~i=1,2,\ldots,n:$$ Since $a_{11}\ne 0$ we can use Gauss elimination method. After doing that we have $$ Un^{(1)}=\begin{pmatrix} 1&u_{12}&\ldots&u_{1n}\\ 0&a_{22}^{(1)}&\ldots&a_{2n}^{(1)}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ 0&a_{n2}^{(1)}&\ldots&a_{nn}^{(1)}\\ \end{pmatrix},$$ y es fácil ver que $$\sum_{j=2}^{n}|u_{1j}|=\sum_{j=2}^{n}\frac{|a_{1j}|}{|a_{11}|}\lt1:$$ Ahora bien, si hemos de probar que $$|a_{ii}^{(1)}|\gt\sum_{j=2,j\ne i}^{n}|a_{ij}^{(1)}|,~~~i=2,\ldots,n:$$ vamos a completar la prueba. Vamos a hacer eso. $$ |a_{ii}^{(1)}|=|a_{ii}-a_{i1}u_{1i}|\ge|a_{ii}|-|a_{i1}||u_{1i}|\gt\sum_{j=1,j\ne i}^{n}|a_{ij}|-|a_{i1}||u_{1i}|=\sum_{j=2,j\ne i}^{n}|a_{ij}|+|a_{i1}|-|a_{i1}||u_{1i}|=\sum_{j=2,j\ne i}^{n}|a_{ij}^{(1)}+a_{i1}u_{1j}|+|a_{i1}|-|a_{i1}||u_{1i}|\ge\sum_{j=2,j\ne i}^{n}|a_{ij}^{(1)}|-\sum_{j=2,j\ne i}^{n}|a_{i1}u_{1j}|+|a_{i1}|-|a_{i1}||u_{1i}|=\sum_{j=2,j\ne i}^{n}|a_{ij}^{(1)}|+|a_{i1}|-\sum_{j=2}^{n}|a_{i1}||u_{1j}|=\sum_{j=2,j\ne i}^{n}|a_{ij}^{(1)}|+|a_{i1}|\left(1-\sum_{j=2}^{n}|u_{1j}|\right): $$ Espero no hacer ningún error:)