Reconocimiento de órdenes lineales incrustados en $\Bbb R^2$ ordenados lexicográficamente

Question

Dejemos que $(C, \leq_C)$ sea cualquier cadena: relación binaria $\leq_C$ en $C$ es reflexivo, antisimétrico, transitivo y total.

Dar $\mathbb{R}^2$ el orden lexicográfico: para todos los números reales $a,b,c,d$ , $(a,b) \leq_L (c,d)$ si y sólo si $a < c$ o ( $a = c$ y $b \leq d$ ).

Pregunta: cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que exista un isomorfismo de orden de $(C, \leq_C)$ a un subconjunto de $(\mathbb{R}^2, \leq_L)$ es decir, una función $f: C \to \mathbb{R}^2$ avec $x \leq_C y$ si y sólo si $f(x) \leq_L f(y)$ ?

Motivación: Sé lo que caracteriza a los isomorfismos de orden a subconjuntos de $\mathbb{R}$ con su orden habitual. Birkhoff Teoría de la red (3ª ed., p. 200), por ejemplo, muestra que tal isomorfismo existe si y sólo si $C$ tiene un subconjunto "denso en orden" contable $D$ un subconjunto contable $D$ de $C$ tal que para todo $a, b \in C \setminus D$ avec $a <_C b$ hay un $d \in D$ avec $a <_C d <_C b$ .

Pero los órdenes lexicográficos me resultan mucho más difíciles de entender. Mi suposición inicial era que podría haber una extensión atractiva de la condición de densidad de orden para responder a mi pregunta (para $\mathbb{R}^2$ y quizás con un argumento inductivo para $\mathbb{R}^n$ ), pero no he podido encontrar ninguno.

Answer 1

Versión corregida. Dejemos que $\pi_1:\Bbb R_{\text{lex}}^2\to\Bbb R:\langle x,y\rangle\mapsto x$ sea la proyección a la primera coordenada. Sea $A\subseteq\Bbb R_{\text{lex}}^2$ estar bien ordenado o inversamente bien ordenado. Claramente $A\cap(\{x\}\times\Bbb R)$ es contable para cada $x\in\Bbb R$ et $\pi_1[A]$ también es contable, por lo que $A$ es contable. Así, el primer requisito es que $C$ no tienen ningún subconjunto incontable bien ordenado o inversamente bien ordenado por $\le_C$ y en lo sucesivo supondré que $C$ cumple este requisito.

Definir una relación de equivalencia $\sim$ en $C$ como sigue: para $x,y\in C$ avec $x\le_C y$ dejar $x\sim y$ y $y\sim x$ si el intervalo $[x,y]$ en $C$ tiene un subconjunto denso de orden contable. Sea $\mathscr{E}$ sea el conjunto de $\sim$ -clases de equivalencia; claramente cada $E\in\mathscr{E}$ es de orden convexo. Sea $E\in\mathscr{E}$ . Entonces, o bien $E$ tiene un $\le_C$ -último elemento, o hay una secuencia ordinaria $\langle y_n:n\in\Bbb N\rangle$ cofinal en $E$ Si no es así, $E$ contendría un conjunto bien ordenado incontable. Del mismo modo, o bien $E$ tiene un $\le_C$ -primer elemento, o tiene una secuencia co-inicial ordinaria $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ . Si $E$ tiene un último elemento $y$ , dejemos que $y_n=y$ para todos $n\in\Bbb N$ y si $E$ tiene un primer elemento $x$ , dejemos que $x_n=x$ para todos $n=\Bbb N$ . Sin pérdida de generalidad $x_0\le y_0$ . Entonces $E=\bigcup_{n\in\Bbb N}[x_n,y_n]$ Así que $E$ tiene un subconjunto denso de orden contable y, por tanto, es isomorfo de orden a un subconjunto de $\Bbb R$ . Además, dado que el $\sim$ -son convexas, el orden $\le_C$ induce un orden lineal natural $\preceq$ en $\mathscr{E}$ .

Teorema. $\langle C,\le_C\rangle$ se integra en el plano ordenado lexicográficamente si $\langle\mathscr{E},\preceq\rangle$ tiene un subconjunto denso de orden contable.

Prueba. Para $x\in C$ dejar $E(x)$ sea el $\sim$ -clase de equivalencia de $x$ . Supongamos primero que $\langle\mathscr{E},\preceq\rangle$ es separable. Entonces hay una incrustación de orden $\varphi:\mathscr{E}\to\Bbb R$ y para cada $E\in\mathscr{E}$ hay una incrustación de orden $\varphi_E:E\to\Bbb R$ el mapa claramente $$\psi:C\to\Bbb R^2_{\text{lex}}:x\mapsto\left\langle\varphi\big(E(x)\big),\varphi_{E(x)}(x)\right\rangle$$ es una incrustación de orden de $C$ en el plano ordenado lexicográficamente.

A la inversa, supongamos que existe una incrustación de orden $\psi:C\to\Bbb R^2_{\text{lex}}$ . Para $\alpha\in\Bbb R$ dejar $$C_\alpha=\big\{x\in C:\psi(x)\in\{\alpha\}\times\Bbb R\big\}\;;$$ y que $A=\{\alpha\in\Bbb R:C_\alpha\ne\varnothing\}$ . Claramente $x\sim y$ siempre que haya un $\alpha\in A$ tal que $x,y\in C_\alpha$ Así que $\mathscr{C}=\{C_\alpha:\alpha\in A\}$ es un refinamiento de $\mathscr{E}$ por subconjuntos de orden convexo de $C$ . Y $\mathscr{C}$ en el orden inducido por $\le_C$ tiene claramente un subconjunto denso de orden contable, por lo que $\mathscr{E}$ también lo ha hecho. $\dashv$