¿Qué tienen que ver los vectores y las matrices?

Question

En mi curso de licenciatura aprendí los vectores (como los que están en el espacio vectorial con magnitud y dirección) por separado de las matrices - un $n \times m$ matriz de números. Sin embargo, después de asistir a una clase sobre teoría de la optimización, el profesor parece utilizar el término vectores fila/columna como si se refiriera a vectores en un espacio vectorial.

Siempre he asumido que el vector fila/columna representa una "matriz" de números dispuestos como tal y no realmente como vectores en el espacio vectorial y definitivamente no como una matriz de vectores. ¿Es común esta interpretación? ¿Es más bien una interpretación dual? ¿Que cualquier matriz arbitraria puede ser interpretada como vectores en el espacio vectorial y puede ser operada usando aritmética vectorial y tener una interpretación válida de los resultados de las operaciones? ¿O el término está sobrecargado?

¿Me estoy perdiendo algo aquí o lo tengo mal o simplemente me faltó algo de intuición :)

Answer 1

Sí, esta es una interpretación muy común de las matrices. Es bastante natural cuando te acostumbras a ella (de hecho, a menudo se enseña como la forma "natural" de pensar en las matrices).

Por ejemplo, la multiplicación de una matriz por un vector puede considerarse como una combinación lineal de las columnas de la matriz. La multiplicación de una matriz por otra matriz da como resultado todos los productos escalares de las columnas de las matrices.

Esto es especialmente común en las matemáticas aplicadas, donde los objetos de datos se representan como vectores que son multidimensionales, y por lo tanto un conjunto de datos se representa como una matriz. Lo mismo ocurre con la optimización, donde muchos problemas interesantes suelen implicar la optimización sobre un conjunto de vectores en un espacio de alta dimensión. A menudo, las operaciones útiles sobre el conjunto de datos pueden traducirse en transformaciones matriciales.

Answer 2

Un "array" de $d$ junto con un producto interno adecuado constituye un $d$ -espacio vectorial de dimensiones. El ejemplo clásico es el espacio de coordenadas $\mathbb{R}^n$ con el producto punto habitual. Una "matriz 2d", también conocida como matriz, puede interpretarse como un operador lineal en ese espacio, por ejemplo la matriz de rotación.

Además, se puede distinguir entre vectores columna -los miembros del espacio vectorial- y vectores fila, miembros del espacio dual.

Además, se pueden considerar las filas de la matriz como vectores que abarcan un "espacio de filas" cuya dimensión es la del espacio de la imagen del operador descrito por la matriz. Esta propiedad se utiliza habitualmente en informática para la compresión de imágenes (consulta PCA).